Transformasi sinus fourier untuk f(x)=e^-x

Posted on

f(x) = e^{-x}
Untuk transformasi sinus Fourier, digunakan:

    \[F_s[f(x)] = \int_0^\infty e^{-x}\sin(sx)\,{\rm d}x\]

Menerapkan integral parsial:

    \begin{align*}I &= \int e^{-x}\sin(sx)\,{\rm d}x \\&= e^{-x}\int \sin{sx}\,{\rm d}x + \int e^{-x}\left(\int \sin{sx}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}x\\&= \frac{-e^{-x}(\cos{sx})}{s} - \frac{\int e^{-x}(\cos{sx})\,{\rm d}x}{s}\\&= \frac{-e^{-x}(\cos{sx})}{s} - \frac{[\frac{e^{-x}(\sin{sx})}{s} + \frac{\int e^{-x}\sin(sx)\,{\rm d}x}{s}]}{s}\\&= \frac{-e^{-x}(\cos{sx})}{s} - \frac{[\frac{e^{-x}(\sin{sx})}{s} + \frac{I}{s}]}{s}\\&= \frac{-e^{-x}(\cos{sx})}{s} - \frac{e^{-x}(\sin{sx})}{s^2} - \frac{I}{s^2}\\I+\frac{I}{s^2}&= \frac{-e^{-x}(\cos{sx})}{s} - \frac{e^{-x}(\sin{sx})}{s^2} \\I(1 +\frac{1}{s^2}) &= -\frac{-e^{-x}(s\cos{sx} + \sin{sx})}{s^2}\\I &= -\frac{-e^{-x}(s\cos{sx} + \sin{sx})}{s^2+1}\end{align*}

Terapkan nilai batas integral,

    \begin{align*} F_s[f(x)] &= \left[-\frac{-e^{-x}(s\cos{sx} + \sin{sx})}{s^2+1}\right]_0^\infty\\&= \frac {s}{s^2 + 1}\end{align*}

Dengan invers transformasi sinus Fourier:

    \begin{align*}f(x)&=\frac{2 }{\pi }\int_{0 }^{\infty } F_{ s}[f(x)]\sin(sx)dx\\e^{ -x}&=\frac{ 2}{\pi }\int_{ 0}^{ \infty}\frac{ s}{1+s^{ 2} }\sin(sx)dx\end{align*}

Dengan x=m,\,\,m>0, diperoleh:

    \begin{align*}e^{ -m}&=\frac{ 2}{\pi }\int_{ 0}^{\infty }\frac{s.\sin(ms) }{1+s^{ 2} }\,{\rm d}s\\\frac{ \pi}{2 }e^{ -m}&=\int_{ 0}^{\infty }\frac{s.\sin(ms) }{1+s^{ 2} }\,{\rm d}s\end{align*}

Ubah variabel buatan s ke x, diperoleh:

    \[ \int_{ 0}^{ \infty}\frac{ x\sin(mx)}{1+x^{ 2} }\,{\rm d}x=\frac{ \pi}{2 }e^{ -m}\;\;m>0 \]


Jangan lupa bagikan jika bermanfaat. Untuk pembahasan soal lainnya: Pembahasan Soal, Soal HOTS.

Leave a Reply

Your email address will not be published.