Pembuktian Analisis Real: Sifat-Sifat Bilangan Real

Posted on

Berikut beberapa soal pembuktian analisis real dan pembahasan yang berkaitan dengan sifat-sifat bilangan Real. Gunakan fitur daftar isi untuk mempermudah menggunakan halaman ini.

Jika x adalah bilangan real yang memenuhi x + a = a untuk setiap a∈R, maka x = 0.

Pada pembuktian soal analisis real ini, misalkan x + a = a. Maka, dengan menambahkan (−a) ke kedua ruas persamaan dan menerapkan aksioma sifat aljabar, diperoleh:

    \begin{align*}(x + a) + (−a) &= a + (−a)\\x + (a + (−a)) &= a + (−a)\\x + 0 &= 0\\x &= 0\end{align*}

Jika y adalah bilangan real yang memenuhi y . b = b untuk setiap b /= 0, maka y = 1.

Misalkan y . b = b dan b \neq 0. Karena b \neq 0, maka ada \frac{1}{b} \in \mathbb{R}. Dan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan \frac{1}{b} dan menerapkan aksioma sifat aljabar, akan diperoleh:

    \begin{align*}(y . b) . \frac{1}{b}&= b .\frac{1}{b} \\y . (b . \frac{1}{b}) &= b . \frac{1}{b} \\y . 1 &= 1 \\y &= 1 \end{align*}

Misalkan a, b sebarang bilangan Real. Jika z + a = 0, maka z = (−a).

Pada pembuktian soal analisis real ini, misalkan a, b bilangan real. Perhatikan persamaan z + a = 0. Dengan menambah kedua ruas dengan (−a) dan menerapkan aksioma sifat aljabar, maka diperoleh:

    \begin{align*}(z + a) + (−a) &= 0 + (−a)\\z + (a + (−a)) &= (−a) \\z + 0 &= (−a) \\z &= (−a)\end{align*}

Misalkan a, b sebarang bilangan Real. Jika y . b = 1 dan b /= 0, maka y = 1/b.

Misalkan y . b = 1 dan b \neq 0. Karena b \neq 0, maka terdapat \frac{1}{b} \in \mathbb{R}. Dengan mengalikan kedua ruas dengan \frac{1}{b}, akan diperoleh:

    \begin{align*}(y . b) . \frac{1}{b} &= 1 \frac{1}{b} \\y . (b . \frac{1}{b}) &= \frac{1}{b} \\y .1 &=\frac{1}{b} \\y &= \frac{1}{b}\end{align*}

√2 bukan bilangan rasional

Bukti. Andaikan ada bilangan rasional x sehingga x^2 = 2. Hal ini berarti
x = \frac{p}{q} untuk p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0. Untuk semua bilangan rasional, (p, q) = 1. Akibatnya, x^2 = \frac{p^2}{q^2} = 2. Artinya, p^2 = 2q^2. Hal ini menunjukkan p^2 genap atau ditulis juga p ≡ 0(mod 2). Ada dua kasus yang mungkin untuk p, yaitu:

  1. p ganjil atau ditulis juga p ≡ 1(mod 2). Akibatnya, p2 ≡ 1(mod 2). Hal ini
    kontradiksi dengan p2 ≡ 0(mod 2). Jadi, hal ini tidak mungkin terjadi.
  2. p genap atau ditulis juga p2 ≡ 0(mod 2) sehingga p2 ≡ 0(mod 2).

Jadi, jika p2 genap, maka p genap. Misalkan p = 2k untuk suatu k ∈ Z. Maka, (2k)2 = 2q2, sehingga diperoleh 2k2 = q2. Ini menunjukkan q2 genap. Sesuai dengan proses sebelumnya, jika q2 genap, maka q genap. Misalkan q = 2m untuk suatu m ∈ Z.

Akibatnya, (p, q) = (2k, 2m) \geq 2. Kontradiksi dengan (p, q) = 1. Jadi, haruslah tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi x^2 = 2.

pembuktian analisis real

Pembuktian, jika x dan y bilangan real, maka 2xy ≤ x^2 + y^2

Pada pembuktian soal analisis real ini, pertama akan kita buktikan bahwa jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0. Hasil perkalian dua bilangan positif selalu positif, misalnya, jika x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka xy ≥ 0. Secara khusus, jika x ≥ 0 maka x2 = x · x ≥ 0. Jika x negatif, maka −x positif, sehingga (−x)2 ≥ 0.

Selain itu, kita juga dapat menjalankan operasi berikut dengan menerapkan sifat asosiatif dan komutatif pada perkalian bilangan real:

    \begin{align*}0 \geq (-x)^2 &= (-x)(-x)\\&= ((-1)x)((-1)x)\\&= (((-1)x))(-1))x\\&= (((-1)(x(-1)))x\\&= (((-1)(-1))x)x\\&= (1x)x\\&= xx\\0&\geq x^2\\\end{align*}

Operasi di atas dapat dijalankan dengan banyak cara. Tujuannya, operasi tersebut menunjukkan bahwa kuadrat dari semua bilangan real adalah non-negatif.

Selanjutnya, jika x dan y bilangan real, maka selisihnya, x − y didefinisikan sebagai x + (−y). Sehingga dapat disimpulkan bahwa 0 ≤ (x + (−y))2 dan dapat dioperasikan sebagai berikut:

    \begin{align*}0 \leq (x + (-y))^2 &= (x + (-y))(x + (-y))\\&= x(x + (-y)) + (-y)(x + (-y))\\&= x^2 + x(-y) + (-y)x + (-y)2\\&= x^2 + y^2 + (-xy) + (-xy)\\0 \leq (x + (-y))^2 &= x^2 + y^2 + 2(-xy)\\0 \leq x^2 + y^2 + 2(-xy)\end{align*}

menambahkan 2xy ke kedua ruas akan diperoleh,

    \begin{align*}2xy = 0 + 2xy \leq (x^2& + y^2 + 2(-xy)) + 2xy\\&= (x^2 + y^2) + (2(-xy) + 2xy)\\&= (x^2 + y^2) + 0\\&= x^2 + y^2\\2xy &\leq x^2 + y^2\end{align*}

Sehingga, diperoleh kesimpulan bahwa:

    \[2xy \leq x^2 + y^2\]
untuk setiap pasangan bilangan real x dan y.

Pembuktian a/b < a+c/b+d < c/d dengan a, b, c, d real positif dan a/b < c/d

Pada pembuktian soal analisis real ini, misalkan a, b, c, dan d bilangan real positif yang memenuhi a/b < c/d. Berlaku:

    \[ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d} \]

Pembuktian

Pertidaksamaan a/b < c/d setara dengan bentuk bc − ad > 0. Pembuktian dilakukan dengan melakukan pengurangan antar ruas pada pernyataan di atas.

Pengurangan antar ruas pertama

    \[ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d} \]

    \begin{align*}\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}\\&=\frac{bc-ad}{b(b+d)}\end{align*}
Perhatikan bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan positif dan bc − ad > 0, sehingga,

    \begin{align*}\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b} &= \frac{bc-ad}{b(b+d)} > 0\\\frac{a+c}{b+d} &>\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&<\frac{a+c}{b+d}\,\,\,\,\,\,\,...(1)\end{align*}

Pengurangan antar ruas kedua

    \[ \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \]

    \begin{align*}\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}&=\frac{c(b+d)-(a+c)d}{d(b+d)}\\&=\frac{bc-ad}{d(b+d)}\end{align*}
Perhatikan bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan positif dan bc − ad > 0, sehingga,

    \begin{align*}\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d} &=\frac{bc-ad}{d(b+d)} > 0\\\frac{c}{d} &>\frac{a+c}{b+d}\\\frac{a+c}{b+d}&<\frac{c}{d}\,\,\,\,\,\,\,...(2)\end{align*}

Jika persamaan (1) dan (2) dihubungkan, akan diperoleh:

    \[ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d} \]

Pembuktian a < akar ab < b dan akar ab < a+b/2

Diberikan 0<a<b. Buktikan bahwa:
a) a<\sqrt{ab}<b
b) \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}

Pembuktian

a) Berdasarkan fakta bahwa pertidaksamaan a<b mengimplikasikan pertidaksamaan \sqrt{a}<\sqrt{b},

    \[b=\sqrt{b}\sqrt{b}>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}>\sqrt{a}\sqrt{a}=a\]

b) Pembuktian langsung dengan operasi perhitungan:

    \begin{align*}\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}&=\frac{(\sqrt{a})^2+\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}\\&=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{2}>0\end{align*}

menggunakan fakta bahwa (x-y)^2=x^2 -2xy +y^2 yang mengikuti hukum distributif dan hukum komutatif pada bilangan real seperti yang terlihat di bawah ini:
(x-y)^2=(x-y)x - (x-y)y hukum distributif
=x^2 -yx -xy + y^2 = x^2 -2xy + y^2 hukum komutatif ♥


Perhatikan persamaan ini:

    \[ (x-y)^2=x^2 -2xy + y^2 \]

Hubungkan dengan matriks, misalkan
x=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} dan x=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 0\end{pmatrix}

x-y=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix} dan (x-y)^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix};
x^2=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} ,  y^2=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} , xy=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} , yx=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & -1\end{pmatrix};
x^2-2xy+y^2=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} \neq\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=(x-y)^2

Sehingga, disimpulkan bahwa

    \[ (x-y)^2=x^2 -2xy +y^2 \]
tidak berlaku secara umum. Persamaan tersebut merupakan konsekuensi dari hukum distributif dan komutatif yang tertutup pada bilangan Real. ♥

Pembuktian x^2+y^2 > 1 untuk x,y dengan x/2 + y/3 = 1

Diberikan x dan yang memenuhi x/2 + y/3 = 1. Buktikan bahwa x^2 + y^2 > 1.

Pembuktian

Titik (x,y) terletak pada garis

    \[l:\,\,\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=1\]
yang memotong sumbu-x di (2,0) dan sumbu-y di (0,3). Garis l juga dapat dideskripsikan dalam parameter (2t,\,3(1-t)\,)\,,\,t\in\mathbb{R}.

Sehingga diperoleh,

    \begin{align*}x^2+y^2 &= (2t)^2+(3(1-t))^2 \\&= 4t^2 + 9(t^2-2t+1)\\&= 13t^2-18t+9\\&=13\left( t^2-\frac{18}{13}t+\frac{9}{13} \right)\\&=13\left\{ \left(t-\frac{9}{13} \right)^2 + \frac{9}{13} - \left( \frac{9}{13} \right)^2 \right\} >0 \\x^2+y^2 &>0\end{align*}
untuk semua t\in \mathbb{R} karena \frac{9}{13} < 1.♥

Pembuktian 2xy <= x^2+y^2 jika x dan y bilangan real

Buktikan bahwa jika x dan y adalah bilangan real, maka

    \[ 2xy \leq x^{ 2}+y^{ 2} \]

Pembuktian

Pada pembuktian soal analisis real ini, pertama akan dibuktikan bahwa jika x adalah bilangan real, maka x2 ≥ 0. Hasil perkalian dari dua bilangan positif selalu positif yaitu jika x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka xy ≥ 0. Khususnya jika x ≥ 0 maka x2 = x · x ≥ 0. Jika x negatif, maka −x
positif, maka (−x)2 ≥ 0. Tetapi juga dapat dilakukan komputasi berikut dengan asosiatif dan komutatif perkalian bilangan real:

0 ≥ (−x)2 = (−x)(−x) = ((−1)x)((−1)x) = (((−1)x))(−1))x
= (((−1)(x(−1)))x = (((−1)(−1))x)x = (1x)x = xx = x2

Perubahan dalam kurung di atas dapat dilakukan dengan banyak cara. Bagaimanapun, ini menunjukkan bahwa kuadrat dari bilangan real apapun adalah non-negatif. Sekarang jika x dan y adalah bilangan real, maka selisihnya, x – y didefinisikan sebagai x + (−y). Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa 0 ≤ (x + (−y))2 dan menghitung:

    \begin{align*}0 \leq (x + (−y))^2 &= (x + (−y))(x + (−y))\\ &= x(x + (−y)) + (−y)(x + (−y))\\&= x^2 + x(−y) + (−y)x + (−y)^2\\ &= x^2 + y^2 + (−xy) + (−xy)\\&= x^2 + y^2 + 2(−xy);\end{align*}

Menambahkan 2xy ke kedua ruas akan diperoleh:

    \begin{align*}2xy = 0+2xy \leq &(x^2 + y^2 + 2(−xy)) + 2xy\\ &= (x^2 + y^2) + (2(−xy) + 2xy)\\= (x^2 + y^2) + 0\\ 2xy\leq & x^2 + y^2\end{align*}

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

    \[ 2xy \leq x^{ 2}+y^{ 2} \]

untuk setiap pasangan bilangan real x dan y


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah atau di sini. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.