Pembahasan Soal Sistem Persamaan Linear (Aljabar)

Posted on

Prakata

Sistem persamaan linear merupakan sistem dalam matematika yang memuat beberapa persamaan linear yang saling mempengaruhi. Seandainya sistem memiliki penyelesaian, maka penyelesaian tersebut harus memenuhi semua persamaan di dalam sistem.

Terdapat tiga kemungkinan penyelesaian dari suatu sistem. Sistem persamaan linear dengan penyelesaian tunggal atau hanya memiliki satu penyelesaian, memiliki banyak penyelesaian (lebih dari satu) dan tidak memiliki penyelesaian. Pada pembahasan ini, selanjutnya akan digunakan istilah himpunan selesaian untuk mewakili penyelesaian-penyelesaian tersebut.

Dalam menentukan penyelesaian, terdapat banyak cara yang sudah diajarkan di sekolah, termasuk operasi aljabar eliminasi dan substitusi, cara grafik dan mungkin dengan matriks. Pada pembahasan kali ini, kita akan fokus membahas soal sistem persamaan linear secara aljabar.

Pembahasan Soal

Untuk melihat pembahasan, klik pada soal. Untuk menutup pembahasan, klik lagi soal.

Selesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel(1)

Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + y + z = 12 ….(1)
x + 2y – z = 3 ….(2)
3x – y +z = 11 ….(3)

Pembahasan

Eliminasi salah satu variabel dengan melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan terhadap dua persamaan. Lakukan dua kali, misalkan persamaan (1) dengan (2) dan persamaan (2) dengan (3).

jawaban soal 1a sistem persamaan linear

Selanjutnya setelah tersisa dua variabel pada persamaan (4) dan (5), eliminasi lagi salah satu variabel agar tersisa satu variabel.

jawaban soal 1b sistem persamaan linear

Kesimpulan

Selesaian dari sistem persamaan di atas adalah: x = 3, y = 2, dan z = 4.

Selesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel(2)

Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
x – 2y + z = 6 ….(1)
3x + y – 2z = 4 ….(2)
7x – 6y – z = 10 ….(3)

Pembahasan

Eliminasi salah satu variabel dengan melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan terhadap dua persamaan. Lakukan dua kali, misalkan persamaan (1) dengan (3) dan persamaan (2) dengan (3).

jawaban soal 2a sistem persamaan linear

Selanjutnya setelah tersisa dua variabel pada persamaan (4) dan (5), eliminasi lagi salah satu variabel agar tersisa satu variabel.

jawaban soal 2b sistem persamaan linear

Kesimpulan

Selesaian dari sistem persamaan di atas adalah: x = 5, y = 3, dan z = 7.

Soal Cerita Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem Persamaan Linear Bentuk Soal Cerita
Pada Liga Champions musim ini, terdapat beberapa kiper yang banyak mendapatkan clean sheets, yaitu Neuer, Oblak dan Lopes. Clean sheets Oblak satu poin di bawah Neuer dan Neuer memiliki dua kali lipat poin clean sheets Lopes. Jika jumlah poin Lopes dan Oblak adalah 8. Maka poin yang didapatkan masing-masing kiper adalah …

Membuat Model Matematika

Langkah pertama adalah membuat model matematika dari soal cerita. Kita misalkan terlebih dahulu jumlah clean sheets masing-masing kiper.
Jumlah clean sheets Neuer = x
Jumlah clean sheets Oblak = y
Jumlah clean sheets Lopes = z
Model matematika dari soal:
y = x – 1 …(1) (Clean sheets Oblak satu poin di bawah Neuer)
x = 2z …(2) ( Neuer memiliki dua kali lipat poin clean sheets Lopes )
y + z = 8 …(3) ( jumlah poin Lopes dan Oblak adalah 8 )

Mencari masing-masing x, y, dan z

Substitusi persamaan 2, x = 2z, ke persamaan 1, y = x – 1
y = x – 1
y = 2z – 1 …(4)
Substitusikan y persamaan 4 ke persamaan 3, y + z = 8.
y + z = 8
2z – 1 + z = 8
3z – 1 = 8
3z = 9
z = 3
Substitusikan z = 3 ke persamaan 4, y = 2z – 1.
y = 2(3) – 1
y = 6 – 1
y = 5
Substitusikan z = 3 ke persamaan 2, x = 2z
x = 2(3)
x = 6

Kesimpulan

Hasil penyelesaian di atas diperoleh: x = 6, y = 5, dan z = 3. Kita kembalikan ke soal cerita untuk masing-masing x, y , dan z.
Jumlah clean sheets Neuer = x = 6
Jumlah clean sheets Oblak = y = 5
Jumlah clean sheets Lopes = z = 3

Selesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel(3)

Selesaikan SPL berikut: 3x + y + z = 9 , 2x + 3y + 2z = 12 dan x + 2y + z = 7

Pembahasan

3x + y + z = 9 …(1)
2x + 3y + 2z = 12 …(2)
x + 2y + z = 7 …(3)
Eliminasi (1) dengan (3) dan (2) dengan (3):

jawaban soal 4

Kesimpulan

Jadi nilai x, y dan z berturut-turut adalah 2, 2, dan 1.

Selesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(1)

Himpunan penyelesaian dari 2x+y = 8 dan 6x+3y = 24 adalah….

Pembahasan

Soal nomor 5 adalah contoh soal sistem persamaan linear dengan tak hingga solusi.
Perhatikan persamaan pada soal, 6x+3y = 24 merupakan kelipatan 3 dari 2x+y = 8 atau dapat kita tuliskan:
6x+3y = 24 <-> 3(2x+y) = 3(8)
Hal ini mengindikasikan bahwa kedua garis tersebut berimpit dan memiliki titik potong di sepanjang garis. Artinya, kedua persamaan memiliki tak hingga solusi yang memenuhi keduanya.

Kesimpulan

Sistem persamaan: 2x+y = 8 dan 6x+3y = 24 memiliki tak hingga solusi/selesaian.

Selesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(2)

Himpunan penyelesaian dari 2x+y = 10 dan 6x+3y = 24 adalah….

Pembahasan

Soal nomor 6 adalah contoh soal sistem persamaan linear dengan tanpa solusi.
Perhatikan persamaan pada soal, 6x+3y = 24, 6x+3y merupakan kelipatan 3 dari 2x+y namun, 24 bukanlah kelipatan 3 dari 10
Hal ini mengindikasikan bahwa kedua garis tersebut sejajar dan tidak memiliki titik potong. Artinya, kedua persamaan tidak memiliki solusi yang memenuhi keduanya.

Kesimpulan

Sistem persamaan: 2x+y = 10 dan 6x+3y = 24 tidak memiliki solusi/selesaian.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Bentuk Pecahan

Tentukan a-b^2 dengan a dan b merupakan selesaian dari sistem persamaan berikut:

    \begin{align*}\frac{11}{a+2b}+\frac{6}{a-2b}&=3 \\\frac{11}{a+2b}+\frac{3}{a-2b}&=2\end{align*}

Pembahasan

Misalkan:

    \begin{align*}\frac{1}{a+2b} = p \\\frac{1}{a-2b} = q\end{align*}

Sistem persamaannya menjadi:

    \begin{align*}11p+6q = 3 \,\,\,\, ...(1) \\11p+3q=2\,\,\,\, ...(2)\end{align*}

Mengurangkan (1) dengan (2) akan diperoleh:

    \begin{align*}(11p+6q)-(11p+3q)&=3-2\\3q&=1\end{align*}
Gunakan 3q = 1 untuk mencari p.

    \begin{align*}11p+3q&=2\\11p+1&=2\\11p&=1\end{align*}

Kembalikan ke bentuk awal
Untuk p:

    \begin{align*}11p&=1\\11\frac{1}{a+2b}&=1\\11&=a+2b \,\,\,\,....(3)\end{align*}
Untuk q:

    \begin{align*}3q&=1\\3\frac{1}{a-2b}&=1\\3&=a-2b \,\,\,\,....(3)\end{align*}

Mengurangkan (3) dengan (4) akan diperoleh:

    \begin{align*}(a+2b)-(a-2b)&=11-3\\4b&=8\\b&=2\end{align*}
Gunakan b=2 untuk mencari a.

    \begin{align*}a+2b&=11\\a+2(2)&=11\\a+4&=11\\a&=7\end{align*}

Kesimpulan

Jadi diperoleh a=7,\,\,b=2, dan nilai dari a-b^2 adalah 7-2^2=3.


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.