Pembahasan soal integral dan cara

Posted on

Sebelum masuk ke pembahasan integral, berikut rangkuman materi terkait integral. Secara sederhana, integral mencakup dua hal penting:

Luas Daerah di Bawah Kurva

kurva integral

Gambar di atas merupakan contoh grafik kurva f(x) dengan batas bawah a dan batas atas b. Dalam pembahasan soal integral, memperkirakan kurva fungsi akan membantu penyelesaian.

Anti Turunan

f dx = F + c <=> dF/dx = f

f adalah fungsi yang diintegralkan dan F adalah fungsi hasil pengintegralan, dx berarti fungsi f diintegralkan terhadap x

Aturan Dalam Integral

Memahami aturan dalam integral akan banyak membantu dalam pembahasan soal integral. Berikut tabel daftar aturan dalam integral yang sering digunakan dalam pembahasan soal integral:

BentukFungsiIntegral
Konstanta∫a dxax + C
Variabel∫x dxx2/2 + C
Kuadrat∫x2 dxx3/3 + C
Resiprokal∫(1/x) dxln|x| + C
Eksponensial∫ex dxex + C
 ∫ax dxax/ln(a) + C
 ∫ln(x) dxx ln(x) − x + C
Trigonometri (x dalam radian)∫cos(x) dxsin(x) + C
 ∫sin(x) dx-cos(x) + C
 ∫sec2(x) dxtan(x) + C
   
AturanFungsiIntegral
Perkalian dengan konstanta∫cf(x) dxc∫f(x) dx
Aturan Pangkat (n≠-1)∫xn dx1/(n+1) xn+1 + C
Aturan Jumlah∫(f + g) dx∫f dx + ∫g dx
Aturan Selisih∫(f – g) dx∫f dx – ∫g dx
Integral Parsial∫u v dxu∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx

Luas Daerah

Dalam beberapa kasus, integral sering digunakan dalam pembahasan soal integral terkait luas daerah. Luas daerah dapat ditentukan dengan integral. Misalkan, x_1, x_2, y_1 dan y_2 adalah fungsi, maka berlaku:

luas bawah kurva integral

    \[L=\int_{a}^{b}\left(y_2 - y_1\right) \mathrm{d}x\]

Luas diperoleh dari integral terhadap pengurangan fungsi dengan kurva di atas (y1) kurva di bawah (y2).

luas bawah kurva integral

    \[L=\int_{c}^{d}\left(x_2 - x_1\right) \mathrm{d}x\]

Luas diperoleh dari integral terhadap pengurangan fungsi dengan kurva di kanan (x1) kurva di kiri (x2).

Volume Benda Putar

Dalam beberapa kasus, integral sering digunakan dalam pembahasan soal integral terkait volume benda putar. Volume benda putar dapat ditentukan dengan integral. Misalkan, x_1, x_2, y_1 dan y_2 adalah fungsi, maka berlaku:

volume daerah integral terhadap x

    \[V=\pi \int_{p}^{q}\left(y_2^2 - y_1^2\right) \mathrm{d}x\]

Ingat: diputar terhadap x -> dx, fungsi dalam x, serta batasnya juga di sumbu x. Kurva di luar dikurangi kurva di dalam.

volume ruang integral dy

    \[V=\pi \int_{r}^{s}\left(x_2^2 - x_1^2\right) \mathrm{d}y\]

Ingat: diputar terhadap y -> dy, fungsi dalam y, serta batasnya juga di sumbu y. Kurva di luar dikurangi kurva di dalam.

Pembahasan Soal Integral Dasar

Tentukan hasil pengintegralan dari ∫x2 dx
Pembahasan
Menggunakan aturan pangkat, ∫xn dx = 1/(n+1) xn+1 + C
∫x2 dx = 1/(2+1) x2+1 + C
Sederhanakan
∫x2 dx = 1/(3) x3 + C
Tentukan hasil dari ∫√x dx
Pembahasan
√x dapat ditulis: x0.5
Menggunakan aturan pangkat, ∫xn dx = 1/(n+1) xn+1 + C
∫x0.5 dx = 1/(0.5+1) x0.5+1 + C
Sederhanakan
∫x0.5 dx = 1/(1.5) x1.5 + C
Tentukan penyelesaian dari: ∫3×2 dx
Pembahasan
3 dapat dikeluarkan dari bentuk integral
∫3×2 dx = 3∫x2 dx
Menggunakan aturan pangkat, ∫xn dx = 1/(n+1) xn+1 + C
=3/3 x3 + C
Sederhanakan
= x3 + C
Tentukan hasil integral trigonometri berikut: ∫sin x + x dx
Pembahasan
Menggunakan aturan jumlah, ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
∫sin x + x dx = ∫sin x dx + ∫x dx
Integralkan masing-masing:
= – cos x + x2/2 + C
Tentukan hasil integral: ∫(ey − 1) dy
Pembahasan
Menggunakan aturan selisih, ∫(f – g) dx = ∫f dx – ∫g dx
∫(ey − 1) dy = ∫ey dy − ∫ 1 dy
Integralkan masing-masing:
= ey – y + C

Pembahasan Soal Integral Penerapan 1

Integral sqrt(x-1)dx untuk 2..5
Pembahasan
Tentukan nilai dari integral fungsi tertentu berikut:

    \[ \int_{ 2}^{5 }\sqrt{x-1 }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk menyederhanakan bentuk fungsi yang akan diintegralkan:

    \begin{align*} y=x-1 \to \,{\rm d}y=\,{\rm d}x\\ x=2 \to y=1\\ x=5 \to y=4 \end{align*}

substitusikan ke bentuk awal integral:

    \begin{align*} \int_{ 2}^{5 }\sqrt{x-1 }\,{\rm d}x&=\int_{ 1}^{ 4} \sqrt{ y}\,{\rm d}y\\ &=\left[ \frac{ 2}{3 }y^{ \frac{ 3}{2 }} \right]_{ 1}^{ 4}\\ &=\frac{ 2}{3 }\left[ 4^{\frac{ 3}{2 } }-1^{\frac{ 3}{2 } } \right]\\ &=\frac{ 2}{3}\left[ 7 \right]\\ &=\frac{ 14}{3 } \end{align*}

Jadi, nilai dari integral tertentu \int_{ 2}^{5 }\sqrt{x-1 }\,{\rm d}x adalah \frac{ 14}{3 }.

Integral x ln(2x) dx
Pembahasan
Tentukan solusi integral dari fungsi logaritma berikut:

    \[ \int{ x \ln(2x) } \,{\rm d}x \]

Penyelesaian dilakukan dengan metode integral parsial, buat permisalan misalkan dalam u dan v.

    \begin{align*} u=\ln(2x) \quad & \,{\rm d}v=x\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}v=\frac{ 2}{2x }\,{\rm d}x=\frac{ 1}{x }\,{\rm d}x \quad & v=\int x\,{\rm d}x=\frac{ x^{ 2}}{ 2} \end{align*}

Substitusikan ke dalam bentuk integral parsial,

    \[ \int u \,{\rm d}v = uv - \int v \,{\rm d}u \]

,

    \begin{align*} \int{ x \ln(2x) } \,{\rm d}x &= \int \ln(2x) x\,{\rm d}x\\ &=\frac{ x^{ 2}}{ 2}\ln(2x) - \int \frac{ x^{ 2}}{2 } \frac{ 1}{x }\,{\rm d}x\\ &=\frac{ x^{ 2}}{ 2}\ln(2x) - \int \frac{ x}{ 2} \,{\rm d}x\\ &=\frac{ x^{ 2}}{ 2}\ln(2x) - \frac{ x^{ 2}}{4 } + C \end{align*}

Integral x sin(x) dx
Pembahasan
Tentukan hasil pengintegralan fungsi trigonometri berikut:

    \[ \int{ x \sin(x) }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk diterapkan pada integral parsial, misalkan dalam u dan v.

    \begin{align*} u=x \qquad & \,{\rm d}v=\sin(x)\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}u=\,{\rm d}x \qquad & v=\int{ \sin(x) }\,{\rm d}x=-\cos(x) \end{align*}

Substitusikan ke bentuk integral parsial,

    \[ \int u \,{\rm d}v=uv - \int v \,{\rm d}u \]

,

    \begin{align*} \int{ x \sin(x) }\,{\rm d}x &= -x \cos(x) - \int (-\cos(x)) \,{\rm d}x\\ &= -x \cos(x) + \sin(x) \end{align*}

Jadi, solusi integral untuk

    \[ \int{ x \sin(x) }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -x \cos(x) + \sin(x) \]

.

Integral x.e^x dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari

    \[ \int{ xe^{ x} }\,{\rm d}x \]

.
Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi:

    \begin{align*} u=x \quad& \,{\rm d}v=e^{ x}\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}u=\,{\rm d}x \quad& v=\int{ e^{ x}\,{\rm d}x }=e^{ x} \end{align*}

Dengan integral parsial,

    \[ \int u \,{\rm d}v = uv - \int v\,{\rm d}u \]

diperoleh:

    \begin{align*} \int{ xe^{ x} }\,{\rm d}x &= x e^{ x} - \int e^{ x} \,{\rm d}x\\ &=xe^{ x} - e^{ x} + C\\ \end{align*}

Jadi hasil pengintegralan

    \[ \int{ xe^{ x} }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ xe^{ x} - e^{ x} + C \]

.

Integral sqrt(1 – x^2)dx untuk x=0..1
Pembahasan
Tentukan hasil pengintegralan dari:

    \[ \int_{ 0}^{ 1}{ \sqrt{ 1-x^{ 2}} }\,{\rm d}x \]

Dilihat dari bentuknya, akan diperlukan parameter t yang berkaitan dengan segitiga siku-siku untuk menyelesaikan soal. Untuk mempelajari substitusi trigonometri pada integral dan turunan, baca di sini: Pembahasan soal integral dengan substitusi trigonometri. Buat permisalan:

    \begin{align*} &x=\cos(t) \to \,{\rm d}x=-\sin(t)\,{\rm d}t\\ &1-x^{ 2}=1-\cos^{ 2}(t)=\sin^{ 2}(t)\\ &x=0 \to t=\cos^{ -1}(0)=\pi/2\\ &x=1 \to t=\cos^{ -1}(1)=0 \end{align*}

gunakan permisalan ke dalam bentuk awal soal:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ 1}{ \sqrt{ 1-x^{ 2}} }\,{\rm d}x&=\int_{ \pi/2}^{ 0}\sqrt{ \sin^{ 2}(t)}\left( -\sin(t)\,{\rm d}t \right)\\ &=-\int_{ 0}^{ \pi/2}-\sin(t).\sin(t)\,{\rm d}t\\ &=\int_{ 0}^{ \pi/2} \sin^{ 2}(t) \,{\rm d}t\\ \end{align*}

Perhatikan pada identitas trigonometri berlaku: \cos(2t)=1-2\sin^{ 2}(t), sehingga

    \[ \sin^{ 2}(t)=\frac{1 }{2 }-\frac{ 1}{ 2}\cos(2t) \]

, substitusikan:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ \pi/2} \sin^{ 2}(t) \,{\rm d}t&=\int_{ 0}^{ \pi/2} \left( \frac{1 }{2 }-\frac{ 1}{ 2}\cos(2t) \right) \,{\rm d}t\\ &=\int_{ 0}^{ \pi/2} \frac{ 1}{2 } \,{\rm d}t-\int_{ 0}^{ \pi/2}{ \frac{ 1}{2 }\cos(2t) }\,{\rm d}t\\ &=\left[ \frac{ 1}{2 }t - \frac{ 1}{4 }\sin(2t) \right]_{ 0}^{ \pi/2}\\ &=\left[ \frac{ 1}{2 }\frac{ \pi}{2 } - \frac{ 1}{4 }\sin(2\frac{ \pi}{ 2}) \right]-\left[ \frac{ 1}{2 }(0) - \frac{1 }{4 }\sin(0) \right]\\ &=\left[ \frac{ \pi}{4 }-0 \right]-\left[ 0-0 \right]\\ &=\frac{ \pi}{ 4} \end{align*}

Jadi, hasil dari

    \[ \int_{ 0}^{ 1}{ \sqrt{ 1-x^{ 2}} }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \frac{ \pi}{ 4} \]

.

Pembahasan Soal Integral Penerapan 2

Integral (x)/(x^2+2x-3) dx
Pembahasan
Tentukan bentuk hasil pengintegralan dari:

    \[ \int{ \frac{ x}{x^{ 2}+2x-3 } }\,{\rm d}x \]

Uraikan bentuk fungsi yang akan diintegralkan agar diperoleh bentuk pecahan yang lebih sederhana:

    \begin{align*} \frac{ x}{x^{ 2}+2x-3 }&=\frac{ x}{ (x+3) (x-1)}\\ &=\frac{ A}{ x+3} + \frac{ B}{ x-1}\\ &=\frac{Ax-A + Bx + 3B }{ x^{ 2}+2x-3}\\ &\text{Sehingga diperoleh:}\\ &(A+B)x+(3B-A)=x\\ &A+B=1 \quad 3B-A=0\\ &B=\frac{ 1}{4 }\quad A=\frac{ 3}{4 }\\ &\text{Jadi hasil penguraiannya adalah: }\\ &\frac{ 3}{ 4}\,\frac{ 1}{ x+3} + \frac{ 1}{ 4}\,\frac{ 1}{ x-1} \end{align*}

gunakan hasil penguraian tersebut ke bentuk integral:

    \begin{align*} \int{ \frac{ x}{x^{ 2}+2x-3 } }\,{\rm d}x&=\int{ \frac{ 3}{ 4}\,\frac{ 1}{ x+3} + \frac{ 1}{ 4}\,\frac{ 1}{ x-1} } \,{\rm d}x\\ &=\frac{ 3}{4 }\ln|x+3|  + \frac{ 1}{4 }\ln|x-1|+C \end{align*}

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int{ \frac{ x}{x^{ 2}+2x-3 } }\,{\rm d}x \]

, adalah

    \[ \frac{ 3}{4 }\ln|x+3| + \frac{ 1}{4 }\ln|x-1|+C, \;\;x\ne -3,1 \]

Integral (-1)/(sin^2(x/2)) dx untuk 0..pi/2

Pembahasan
Tentukan nilai dari integral tertentu berikut:

    \[ \int_{ 0}^{\pi/2 } {\frac{ -1}{\sin^2(x/2) }}\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk mengubah bentuk pecahan di dalam fungsi sinus:

    \begin{align*} &y=\frac{ \pi}{2 } \to x=2y \to \,{\rm d}x=2\,{\rm d}y\\ &x=0 \to y=0\\ &x=\frac{ \pi}{2 } \to \frac{ \pi}{4 } \end{align*}

substitusikan ke dalam bentuk awal integral:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{\pi/2 } {\frac{ -1}{\sin^2(x/2) }}\,{\rm d}x&=\int_{0 }^{\pi/4 }{ \frac{-1 }{ \sin^{ 2}(y)} }\,2\,{\rm d}y\\ &=-2\int_{ 0}^{\pi/4 }{ \frac{1 }{\sin^{ 2}(y) } }\,{\rm d}y\\ &=-2 \left[ -\cot(y) \right]_{ 0}^{ \pi/4}\\ &=2 \left[ \cot(y) \right]_{ 0}^{ \pi/4}\\ &=2 \left[ \cot\left( \frac{ \pi}{4 } \right) - \cot(0) \right]\\ &=2 \left[ 1-0 \right]\\ &=2 \end{align*}

Jadi, nilai dari integral tertentu:

    \[ \int_{ 0}^{\pi/2 } {\frac{ -1}{\sin^2(x/2) }}\,{\rm d}x \]

adalah 2.

Integral (3x^2-6x+2)/(x^3-3x^2+2x) dx
Pembahasan
Tentukan integral dari fungsi berikut:

    \[ \int{ \frac{ 3x^{ 2}-6x+2}{x^{ 3}-3x^{ 2}+2x } }\,{\rm d}x \]

Penyelesaian dapat dilakukan dengan menyederhanakan penyebut dan pembilang, namun lebih mudah jika dibuat permisalan yang dapat mengeliminasi penyebut atau pembilangnya:

    \begin{align*} y&=x^{ 3}-3x^{ 2}+2x\\ \,{\rm d}y&=\left( 3x^{ 2}-6x+2 \right)\,{\rm d}x \end{align*}

substitusikan ke dalam bentuk awal integral:

    \begin{align*} \int{ \frac{ 3x^{ 2}-6x+2}{x^{ 3}-3x^{ 2}+2x } }\,{\rm d}x&=\int{\frac{ 1}{y }\,{\rm d}y}\\ &=\ln(y)\,{\rm d}y +C \end{align*}

Kembalikan bentuk akhir operasi integral ke dalam x.

    \[ \ln(y)\,{\rm d}y \to \ln\left( x^{ 3}-3x^{ 2}+2x \right)\,{\rm d}y + C \]

Perhatikan pula bahwa

    \[ \frac{ 3x^{ 2}-6x+2}{x^{ 3}-3x^{ 2}+2x } \]

tidak terdefinisi untuk x = 0,1,2.
Jadi, hasil operasi integral untuk

    \[ \int{ \frac{ 3x^{ 2}-6x+2}{x^{ 3}-3x^{ 2}+2x } }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \ln\left( x^{ 3}-3x^{ 2}+2x \right)\,{\rm d}y + C, \quad x\ [/su_spoiler] Integral (3x+1)e^x dx [su_spoiler title="Pembahasan" open="no" style="default" icon="plus" anchor="" anchor_in_url="no" class=""] Tentukan hasil integral dari: \[ \int (3x+1)e^{ x}\,{\rm d}x \]

Gunakan integral parsial untuk menyelesaikan soal ini, misalkan u dan dv terlebih dahulu:

    \begin{align*} u=3x+1\quad & \,{\rm d}v=e^{ x}\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}u=3\,{\rm d}x \quad & v=e^{ x} \end{align*}

substitusikan ke dalam bentuk integral parsial \int u dv = uv - \int v du:

    \begin{align*} \int (3x+1)e^{ x}\,{\rm d}x &= (3x+1)e^{ x}-\int e^{ x}\times 3\,{\rm d}x\\ &=(3x+1)e^{ x} - 3\int e^{ x} \,{\rm d}x\\ &=(3x+1)e^{ x} - 3 e^{ x} + C\\ &=3xe^{ x} - 2e^{ x} + C \end{align*}

Jadi, hasil dari

    \[ \int (3x+1)e^{ x}\,{\rm d}x \]

adalah:

    \[ 3xe^{ x} - 2e^{ x} + C,\quad x \in \mathrm{R} \]

Integral cos^5(x)sin(x) dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral yang melibatkan trigonometri berikut:

    \[ \int \cos^{ 5}(x)\sin(x) \,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk menyederhanakan bentuk fungsi:

    \[ y=\cos(x) \to \,{\rm d}y=-\sin(x)\,{\rm d}x \to \sin(x)\,{\rm d}x=-\,{\rm d}y \]

substitusikan ke dalam bentuk fungsi yang akan diintegralkan:

    \begin{align*} \int \cos^{ 5}(x)\sin(x) \,{\rm d}x &=-\int y^{ 5} \,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{ 6}y^{ 6} + C \end{align*}

Kembalikan bentuk hasil integral ke dalam x:

    \[ -\frac{ 1}{ 6}y^{ 6} + C \to -\frac{ 1}{ 6}\cos^{ 6}(x) + C \]

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int \cos^{ 5}(x)\sin(x) \,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{ 1}{ 6}\cos^{ 6}(x) + C,\;\;x\in{\rm R} \]

Pembahasan Soal Integral Penerapan 3

Integral (2x^2+3)/(x^2(x-1)) dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int{ \frac{2x^{ 2}+3 }{x^{ 2}(x-1) } }\,{\rm d}x \]

Manipulasi fungsi yang akan diintegralkan dengan menguraikannya ke dalam bentuk penjumlahan beberapa pecahan.

    \begin{align*} \frac{2x^{ 2}+3 }{x^{ 2}(x-1) }\\ =&\frac{ A}{x }+\frac{ B}{x^{ 2} }+\frac{ C}{x-1 }\\ =&\frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^{ 2} }{ x^{ 2}(x-1)}\\ &\text{Sehingga diperoleh: }\\ &Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^{ 2} = 2x^{ 2}+3\\ &x=0 \to 3=-B \to B=-3\\ &x=1 \to 5=C \to C=5\\ &x=-1 \to 5=2A+6+5 \to A=-3\\ &\text{Jadi bentuk penguraiannya adalah:}\\ \frac{ -3}{x }+\frac{ -3}{x^{ 2} }+\frac{ 5}{x-1 } \end{align*}

Gunakan hasil penguraian untuk diintegralkan:

    \begin{align*} &\int{ \frac{2x^{ 2}+3 }{x^{ 2}(x-1) } }\,{\rm d}x\\ =&\int{ \frac{ -3}{x }+\frac{ -3}{x^{ 2} }+\frac{ 5}{x-1 } }\,{\rm d}x\\ =&-\ln|x|+\frac{ 3}{x }+5\ln|x-1|+C\;\;x\ne 0,1 \end{align*}

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int{ \frac{2x^{ 2}+3 }{x^{ 2}(x-1) } }\,{\rm d}x \]

adalah:

    \[ -\ln|x|+\frac{ 3}{x }+5\ln|x-1|+C\;\;x\ne 0,1 \]

Integral t(t+8)^6 dt
Pembahasan
Tentukan hasil pengintegralan dari:

    \[ \int t(t+8)^{ 6} \,{\rm d}t \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi:

    \begin{align*} y=t-8 \to t=y-8\\ \,{\rm d}t=\,{\rm d}y \end{align*}

substitusikan ke bentuk integral awal, lalu operasikan:

    \begin{align*} \int t(t+8)^{ 6} \,{\rm d}t&=\int (y-8)y^{ 6}\,{\rm d}y\\ &=\int y^{ 7}-8y^{ 6}\,{\rm d}y\\ &=\frac{ 1}{8 }y^{ 8} - \frac{ 8}{7 } y^{ 7} + C \end{align*}

Kembalikan bentuk hasil akhir ke dalam t.

    \[ \frac{ 1}{8 }y^{ 8} - \frac{ 8}{7 } y^{ 7} + C \to \frac{ (t+8)^{ 8}}{8 } - \frac{ 8(t+8)^{ 7}}{7 } +C \]

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int t(t+8)^{ 6} \,{\rm d}t \]

, adalah

    \[ \frac{ (t+8)^{ 8}}{8 } - \frac{ 8(t+8)^{ 7}}{7 } +C,\;\;t\in \rm{R} \]

Integral x sqrt(4-x^2)dx
Pembahasan
Tentukan hasil dari pengintegralan berikut:

    \[ \int{ x\sqrt{ 4-x^{ 2}} }\,{\rm d}x \]

Misalkan y=4-x^{ 2}, maka diperoleh \,{\rm d}y=-2x\,{\rm d}x atau

    \[ x \,{\rm d}x = -\frac{ 1}{2 }\,{\rm d}y \]

. Substitusi ke bentuk integral awal akan diperoleh:

    \begin{align*} \int{ x\sqrt{ 4-x^{ 2}} }\,{\rm d}x&=\int{ \sqrt{ 4-x^{ 2}} }x\,{\rm d}x\\ &=\int \sqrt{ y} \times -\frac{ 1}{2 }\,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{2 } \int \sqrt{ y} \,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{2 }\, \frac{ 2}{3 } y^{ 3/2}  +C\\ &=-\frac{ 1}{3 } y^{ 3/2} + C \end{align*}

Kembalikan hasil akhir ke dalam x.

    \[ -\frac{ 1}{3 } y^{ 3/2} + C \to -\frac{ 1}{3 } \left( 4-x^{ 2} \right)^{ 3/2} + C \]

Perhatikan pula batas nilai x-nya adalah: \left[ -2,2 \right]
Jadi, solusi dari

    \[ \int{ x\sqrt{ 4-x^{ 2}} }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{ 1}{3 } \left( 4-x^{ 2} \right)^{ 3/2} + C,\quad x=\left[ -2,2 \right] \]

Integral (ln(x) + 1)/x dx untuk x=1..e
Pembahasan
Tentukan nilai integral berikut:

    \[ \int_{ 1}^{e }{ \frac{\ln(x)+1 }{ x} } \,{\rm d}x\]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk aljabar fungsi:

    \begin{align*} y=\ln(x)+1 \to \,{\rm d}y=\frac{ 1}{ x}\,{\rm d}x\\ x=1 \to y=1 \quad x=e \to y=2 \end{align*}

substitusi pada bentuk integral awal, lalu integralkan:

    \begin{align*} \int_{ 1}^{e }{ \frac{\ln(x)+1 }{ x} } \,{\rm d}x&=\int_{ 1}^{2 }y\,{\rm d}y\\ &=\left[ \frac{ 1}{2 }y^{ 2} \right]_{ 1}^{ 2}\\ &=\frac{ 1}{2 } \left[ 2^{ 2} - 1^{ 2} \right]\\ &=\frac{ 1}{ 2} \left[ 3 \right]\\ &=\frac{ 3}{2 } \end{align*}

Jadi, nilai dari

    \[ \int_{ 1}^{e }{ \frac{\ln(x)+1 }{ x} } \,{\rm d}x\]

adalah

    \[ \frac{ 3}{2 } \]

.

Integral 1/(x^2+1)(x^2+2x+1) dx
Pembahasan
Tentukan nilai dari integral tak tentu berikut:

    \[ \int \frac{ 1}{\left( x^{ 2}+1 \right)\left( x^{ 2}+2x+1 \right) } \,{\rm d}x \]

Uraikan bentuk pecahan menjadi penjumlahan beberapa bentuk aljabar:

    \begin{align*} &\frac{ 1}{\left( x^{ 2}+1 \right)\left( x^{ 2}+2x+1 \right) }\\ =&\frac{ A}{x+1 }+\frac{ B}{(x+1)^{ 2} }+\frac{ Cx+D}{x^{ 2}+1 }\\ =&\frac{ 1}{2 }\frac{ 1}{x+1 }+\frac{ 1}{2 }\frac{ 1}{(x+1)^{ 2} }-\frac{ 1}{2 }\frac{ x}{x^{ 2}+1 } \end{align*}

Gunakan bentuk pecahan parsial yang telah diperoleh ke dalam bentuk integral:

    \begin{align*} &\int \frac{ 1}{\left( x^{ 2}+1 \right)\left( x^{ 2}+2x+1 \right) } \,{\rm d}x\\ =&\int{ \frac{ 1}{2 }\frac{ 1}{x+1 }+\frac{ 1}{2 }\frac{ 1}{(x+1)^{ 2} }-\frac{ 1}{2 }\frac{ x}{x^{ 2}+1 } } \,{\rm d}x\\ =&\frac{ 1}{2 }\int \frac{ 1}{x+1 } \,{\rm d}x +\frac{ 1}{2 }\int \frac{ 1}{(x+1)^{ 2} } \,{\rm d}x - \frac{1 }{2 }\int \frac{ x}{x^{ 2}+1 } \,{\rm d}x\\ =&\frac{ 1}{2 }\ln|x+1|-\frac{ 1}{2 }\frac{ 1}{x+1 }-\frac{ 1}{4 }\ln|x^{ 2}+1|+C \end{align*}

Juga dapat disederhanakan bila perlu:

    \[ \frac{ 1}{2 }\ln\left| \frac{ x+1}{\sqrt{x^{ 2}+1 } } \right| - \frac{ 1}{2(x+1) } +C,\;x\ne 1 \]

Pembahasan Soal Integral Penerapan 4

Integral tan^3(x)/cos^2(x) dx
Pembahasan
Tentukan hasil pengintegralan fungsi berikut:

    \[ \int \frac{ \tan^{ 3}(x)}{\cos^{ 2}(x)}\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi trigonometri yang akan diintegralkan:

    \[ y=\tan(x) \to \,{\rm d}y=\frac{1 }{\cos^{ 2}(x) }\,{\rm d}x \]

substitusikan ke bentuk awal dan integralkan:

    \begin{align*} \int \frac{ \tan^{ 3}(x)}{\cos^{ 2}(x)}\,{\rm d}x&=\int y^{ 3} \,{\rm d}y\\ &=\frac{ 1}{4 }y^{ 4}+C \end{align*}

kembalikan bentuk fungsi dalam x:

    \[ \frac{ 1}{4 }y^{ 4}+C \to \frac{ 1}{ 4}\tan^{ 4}(x) + C \]

perhatikan pula bahwa bentuk

    \[ \frac{ \tan^{ 3}(x)}{\cos^{ 2}(x)} \]

tidak berlaku untuk

    \[ x=\frac{ \pi}{ 2}+k\pi \]

.
Jadi, hasil integral dari

    \[ \int \frac{ \tan^{ 3}(x)}{\cos^{ 2}(x)}\,{\rm d}x \]

, adalah:

    \[ \frac{ 1}{ 4}\tan^{ 4}(x) + C,\;x\ne \frac{ \pi}{ 2}+k\pi \]

Integral 1/(x^2-9) dx untuk 0..1
Pembahasan
Tentukan hasil integral tertentu berikut:

    \[ \int_{ 0}^{1 }\frac{ 1}{x^{ 2}-9 }\,{\rm d}x \]

Uraikan bentuk fungsi menjadi pecahan parsial:

    \begin{align*} \frac{ 1}{x^{ 2}-9 }&=\frac{ 1}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right) }\\ &=\frac{ A}{x-3 }+\frac{ B}{x+3 } \end{align*}

Tentukan nilai A dan B terlebih dahulu,

    \begin{align*} &\frac{ A}{x-3 }+\frac{ B}{x+3 }\\ =&\frac{Bx-3B+Ax+3A }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right) }\\ =&\frac{(A+B)x+3(A-B)}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right) }\\ &\text{Sehingga diperoleh:}\\ &(A+B)x+3(A-B)=1 \to A+B=0\;A-B=\frac{ 1}{3 }\\ &\text{Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh:}\\ &A=\frac{ 1}{ 6}\quad B=-\frac{ 1}{ 6},\text{ sehingga:}\\ &\frac{ 1}{x^{ 2}-9 }=\frac{1 }{6 }\frac{ 1}{x-3 }-\frac{1 }{ 6}\frac{1 }{x+3 }\\ &=\frac{ 1}{ 6}\left( \frac{ 1}{ x-3}-\frac{ 1}{ x+3} \right) \end{align*}

Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{1 }\frac{ 1}{x^{ 2}-9 }\,{\rm d}x&=\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 6}\left( \frac{ 1}{ x-3}-\frac{ 1}{ x+3} \right)\,{\rm d}x\\ &=\frac{ 1}{ 6}\left[ \int_{ 0}^{ 1} \frac{ 1}{x-3 } \,{\rm d}x - \int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{x+3 }\,{\rm d}x \right]\\ &=\frac{ 1}{ 6}\left[ \left( \ln(x-3) \right)_{ 0}^{ 1} - \left( \ln(x+3) \right)_{ 0}^{ 1} \right]\\ &=\frac{ 1}{6 }\left[ \left( \ln|-2|-\ln|-3| \right)-\left( \ln(4)-\ln(3) \right) \right]\\ &=\frac{ 1}{ 6}\left[ \ln(2)-\ln(4) \right]\\ &=\frac{ 1}{ 6} \ln\left( \frac{ 2}{ 4} \right)\\ &=-\frac{ 1}{ 6}\ln(2) \end{align*}

Jadi, hasil dari:

    \[ \int_{ 0}^{1 }\frac{ 1}{x^{ 2}-9 }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{1 }{6 }\ln(2) \]

Integral (x^3-x)/(x^2) dx untuk 1..2
Pembahasan
Tentukan nilai dari integral tertentu berikut:

    \[ \int_{ 1}^{2 } \frac{x^{ 3}-x }{ x^{ 2}}\,{\rm d}x \]

Cara termudah untuk menyelesaikan soal ini adalah mengoperasikan bentuk pecahan terlebih dahulu:

    \begin{align*} \int_{ 1}^{2 } \frac{x^{ 3}-x }{ x^{ 2}}\,{\rm d}x&=\int_{ 1}^{2 } x-\frac{ 1}{x } \,{\rm d}x\\ &=\int_{ 1}^{2 } x \,{\rm d}x - \int_{ 1}^{2 }\frac{ 1}{x }\,{\rm d}x \end{align*}

Integralkan bentuk fungsi yang telah dimanipulasi dan substitusikan batas:

    \begin{align*} \int_{ 1}^{2 } x \,{\rm d}x - \int_{ 1}^{2 }\frac{ 1}{x }\,{\rm d}x&=\left[ \frac{ 1}{ 2}x^{ 2} \right]_{ 1}^{ 2} - \left[ \ln(x) \right]_{ 1}^{ 2}\\ &=\left[ \frac{ 1}{2 }\left( 2^{ 2}-1^{ 2} \right) \right] - \left[ \ln(2) - \ln(1) \right]\\ &=\left[ \frac{ 1}{2 }(3) \right] - \left[ \ln\left( \frac{ 2}{ 1} \right) \right]\\ &=\frac{ 3}{2 } - \ln(2) \end{align*}

Jadi, nilai dari

    \[ \int_{ 1}^{2 } \frac{x^{ 3}-x }{ x^{ 2}}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \frac{ 3}{2 }-\ln(2) \]

Integral (cos(x))/(2+sin(x))^2 dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int \frac{\cos(x) }{ \left(2+\sin(x)\right)^{ 2}}\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi yang akan diintegralkan:

    \[ y=2+\sin(x) \to \,{\rm d}y=\cos(x)\,{\rm d}x \]

substitusikan pada bentuk awal, lalu integralkan:

    \begin{align*} \int \frac{\cos(x) }{ \left(2+\sin(x)\right)^{ 2}}\,{\rm d}x&=\int \frac{1 }{y^{ 2} }\,{\rm d}y\\ &=\int y^{ -2}\,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{1 }y^{ -1}+C\\ &=-\frac{ 1}{y }+C \end{align*}

Kembalikan bentuk ke fungsi dalam x:

    \[ -\frac{ 1}{y }+C \to -\frac{1 }{2+\sin(x) }+C \]

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int \frac{\cos(x) }{ \left(2+\sin(x)\right)^{ 2}}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{1 }{2+\sin(x) }+C \]

Integral x^2 sin(x) dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral tak tentu berikut:

    \[ \int x^{ 2}\sin(x) \,{\rm d}x \]

Gunakan integral parsial, terlebih dahulu buat permisalan, misalnya u dan v:

    \begin{align*} u=x^{ 2} \quad & \,{\rm d}v=\sin(x)\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}u=2x\,{\rm d}x \quad & v=-\cos(x) \end{align*}

gunakan permisalan pada formula integral parsial,

    \[ \int u \,{\rm d}v=uv-\int v\,{\rm d}u \]

,

    \begin{align*} \int x^{ 2}\sin(x) \,{\rm d}x &= -x^{ 2}\cos(x) - \int (-\cos(x)) 2x\,{\rm d}x\\ &=-x^{ 2}\cos(x) + \int 2x\cos(x) \,{\rm d}x\\ \end{align*}

Buat permisalan lainnya untuk mencari hasil integral:

    \[ \int 2x\cos(x) \,{\rm d}x \]

,
Misalkan,

    \begin{align*} f=2x \quad & \,{\rm d}g=\cos(x)\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}f=2\,{\rm d}x \quad & g=\sin(x) \end{align*}

Gunakan formula integral parsial, \int f \,{\rm d}g = fg - \int g \,{\rm d}f:

    \begin{align*} \int 2x\cos(x) \,{\rm d}x&=2x \sin(x) - \int \sin(x).2\,{\rm d}x\\ &=2x\sin(x)-2\int \sin(x)\,{\rm d}x\\ &=2x\sin(x)-2(-\cos(x))+C\\ &=2x\sin(x)+2\cos(x)+C \end{align*}

Sehingga, diperoleh hasil akhir:

    \begin{align*} \int x^{ 2}\sin(x) \,{\rm d}x &= -x^{ 2}\cos(x) + \int 2x\cos(x) \,{\rm d}x\\ &= -x^{ 2}\cos(x) + 2x\sin(x)+2\cos(x)+C\\ &=\left( -x^{ 2}+2 \right)\cos(x) + 2x\sin(x) + C \end{align*}

Jadi, hasil integral dari:

    \[ \int x^{ 2}\sin(x) \,{\rm d}x \]

, adalah

    \[ \left( -x^{ 2}+2 \right)\cos(x) + 2x\sin(x) + C \]

.

Pembahasan soal Integral Penerapan 5

Integral (e^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) dx
Pembahasan
Tentukan hasil pengintegralan berikut:

    \[ \int \frac{ e^{ \sqrt{ x}}}{\sqrt{ x} } \,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk soal:

    \begin{align*} y=\sqrt{ x} \to \,{\rm d}y=\frac{ 1}{2\sqrt{ x} }\,{\rm d}x\\ \to 2\,{\rm d}y = \frac{ 1}{\sqrt{ x} }\,{\rm d}x \end{align*}

substitusikan ke dalam bentuk integral, lalu integralkan:

    \begin{align*} \int \frac{ e^{ \sqrt{ x}}}{\sqrt{ x} } \,{\rm d}x&=\int e^{ y}.2\,{\rm d}y\\ &=2\int e^{ y}\,{\rm d}y\\ &=2 e^{ y}+C \end{align*}

Kembalikan ke dalam bentuk x:

    \[ 2 e^{ y}+C \to 2 e^{\sqrt{ x}}+C \]

perhatikan juga bahwa domain untuk fungsi adalah x \geq 0.
Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int \frac{ e^{ \sqrt{ x}}}{\sqrt{ x} } \,{\rm d}x \]

adalah

    \[2 e^{\sqrt{ x}}+C,\; x\geq 0  \]

Integral (x^2)/(sqrt(1+x) dx untuk 0..3
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int_{ 0}^{3 } \frac{x^{ 2} }{\sqrt{1+x } }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi:

    \begin{align*} y=1+x \to \,{\rm d}y=\,{\rm d}x\\ x=y-1\\ x=0 \to y=1\\ x=3 \to y=4 \end{align*}

substitusikan ke bentuk awal integral:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{3 } \frac{x^{ 2} }{\sqrt{1+x } }\,{\rm d}x&=\int_{ 1}^{ 4} \frac{\left( y-1 \right)^{ 2} }{\sqrt{ y} }\,{\rm d}y\\ &=\int_{ 1}^{ 4}\frac{ y^{ 2}-2y+1}{y^{ 1/2} }\,{\rm d}y\\ &=\int_{ 1}^{ 4} y^{ 3/2} - 2y^{ 1/2} + y^{ -1/2} \,{\rm d}y\\ &=\left[ \frac{2 }{5 }y^{ 5/2} - 2\times \frac{ 2}{3 }y^{ 3/2} +2y^{ 1/2} \right]_{ 1}^{ 4}\\ &=\left[ \frac{ 2}{5 }y^{ 5/2} - \frac{ 4}{3 }y^{ 3/2} +2y^{ 1/2} \right]_{1 }^{ 4}\\ &=\left[ \frac{ 2}{5 }(4)^{5/2 } - \frac{ 4}{3 }(4)^{ 3/2} +2(4)^{1/2 } \right] -\\ &\quad \left[ \frac{ 2}{5 }(1)^{5/2 } - \frac{ 4}{3 }(1)^{ 3/2} +2(1)^{1/2} \right] \\ &=\left[ \frac{ 2}{5 }\times 32 - \frac{ 4}{3 }\times 8 +2\times 2 \right] - \left[ \frac{ 2}{5 } - \frac{ 4}{3 } +2 \right]\\ &=\left[ \frac{ 64}{5 } -\frac{ 32}{3 } +4 \right] - \left[ \frac{ 2}{5 } - \frac{ 4}{3 } +2 \right]\\ &=\frac{ 62}{5 } - \frac{ 28}{ 3} +2\\ &=\frac{ 46}{15 }+2\\ &=\frac{ 76}{15 } \end{align*}

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int_{ 0}^{3 } \frac{x^{ 2} }{\sqrt{1+x } }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \frac{ 76}{15} \]

Integral 3x^2 sin(x^3+1)dx
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int 3x^{ 2}\sin(x^{ 3}+1)\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi:

    \[ y=x^{ 3}+1 \to \,{\rm d}y=3x^{ 2}\,{\rm d}x \]

substitusi ke bentuk awal soal, lalu integralkan:

    \begin{align*} \int 3x^{ 2}\sin(x^{ 3}+1)\,{\rm d}x&=\int \sin(x^{ 3}+1).3x^{ 2}\,{\rm d}x\\ &=\int \sin(y) \,{\rm d}y\\ &=-\cos(y) + C \end{align*}

Kembalikan fungsi ke dalam x:

    \[ -\cos(y)+C \to -\cos(x^{ 3}+1) + C \]

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int 3x^{ 2}\sin(x^{ 3}+1)\,{\rm d}x \]

adalah

    \[-\cos(x^{ 3}+1) + C \]

Integral x e^-x dx untuk 0..1
Pembahasan
Tentukan nilai integral dari:

    \[ \int_{ 0}^{ 1}xe^{ -x}\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk digunakan pada formula integral parsial, misalkan u dan v:

    \begin{align*} u=x \qquad & \,{\rm d}v=e^{ -x}\,{\rm d}x\\ \,{\rm d}u=\,{\rm d}x \qquad& v=\int e^{ -x}\,{\rm d}x=-e^{ -x} \end{align*}

Dengan menggunakan integral parsial

    \[ \int u \,{\rm d}v = uv - \int v \,{\rm d}u \]

substitusikan permisalan u dan v:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ 1}xe^{ -x}\,{\rm d}x&=x \left( -e^{ -x} \right) - \int -e^{ -x} \,{\rm d}x\\ &=-xe^{ -x} + \int e^{ -x} \,{\rm d}x\\ &=-xe^{ -x} + \left[ -e^{ -x} \right]\\ &=-xe^{ -x} - e^{ -x} \\ \end{align*}

Terapkan batas:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ 1}xe^{ -x}\,{\rm d}x&=\left[ -xe^{ -x} - e^{ -x} \right]_{ 0}^{ 1}\\ &=\left[ -1.e^{ -1}-e^{ -1} \right] - \left[ 0 - e^{ 0} \right]\\ &=-\frac{ 2}{e } + 1 \end{align*}

Jadi, hasil dari

    \[ \int_{ 0}^{ 1}xe^{ -x}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{2 }{e }+1 \]

Integral x^2 sqrt(x^3+1) dx untuk 0..2
Pembahasan
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int_{ 0}^{ 2} x^{ 2}\sqrt{x^{ 3}+1 }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk memanipulasi bentuk fungsi.

    \begin{align*} y^{ 2}=x^{ 3}+1 \to 2y \,{\rm d}y=3x^{ 2}\,{\rm d}x \to x^{ 2}=\frac{ 2}{3 }y\,{\rm d}y\\ x=0\to y=\sqrt{0^{ 3}+1 }=1\\ x=2\to \sqrt{2^{ 3}+1 }=3 \end{align*}

Substitusikan ke bentuk awal, dan integralkan:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ 2} x^{ 2}\sqrt{x^{ 3}+1 }\,{\rm d}x&=\int_{ 0}^{2 } \sqrt{x^{ 3}+1 }x^{ 2}\,{\rm d}x\\ &=\int_{ 1}^{3 } \sqrt{ y^{ 2}} \frac{ 2}{3 }y\,{\rm d}y\\ &=\frac{ 2}{3 } \int_{ 1}^{3 } y^{ 2} \,{\rm d}y\\ &=\frac{ 2}{3 }\left[ \frac{ 1}{3 }y^{ 3} \right]_{ 1}^{ 3}\\ &=\frac{ 2}{9 }\left[ 3^{ 3}-1^{ 3} \right]\\ &=\frac{ 2}{9 }\times 26\\ &=\frac{ 52}{9 } \end{align*}

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int_{ 0}^{ 2} x^{ 2}\sqrt{x^{ 3}+1 }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \frac{ 52}{9 } \]

Pembahasan soal Integral Penerapan 6

Integral sin(sqrt(x)) dx
Spoiler title
Tentukan hasil integral dari:

    \[ \int{ \sin(\sqrt{x }) }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan untuk menyederhanakan bentuk:

    \[ x=y^{ 2} \to \,{\rm d}x =2y\,{\rm d}y  \]

Substitusi permisalan ke bentuk awal integral:

    \begin{align*} \int{ \sin\left( \sqrt{x } \right) }\,{\rm d}x&=\int{ \sin\left( \sqrt{y^{ 2} } \right) }2y\,{\rm d}y\\ &=\int{ 2y\sin(y) }\,{\rm d}y\\ \end{align*}

Menggunakan integral parsial \int f \,{\rm d}g=fg- \int g \,{\rm d}f, dengan

    \begin{align*} f=y \to \,{\rm d}f=\,{\rm d}y\\ \,{\rm d}g=\sin(y)\,{\rm d}y \to g=-\cos(y) \end{align*}

    \begin{align*} 2\int{ y\sin(y) }\,{\rm d}y&=2\left[ y \left( -\cos(y) \right)-\int{ -\cos(y) }\,{\rm d}y \right]\\ &=2\left[ -y\cos(y) + \sin(y) \right] + C\\ &=2\sin(y) - 2y\cos(y) + C \end{align*}

Kembalikan fungsi dalam y ke dalam x:

    \[ 2\sin\left( \sqrt{ x} \right) -2\left( \sqrt{ x} \right)\cos\left( \sqrt{ x} \right) + C \]

Jadi, hasil integral dari

    \[ \int{ \sin(\sqrt{x }) }\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ 2\sin\left( \sqrt{ x} \right) -2\left( \sqrt{ x} \right)\cos\left( \sqrt{ x} \right) + C \]

Integral (ln(tan(x)))/(cos^2(x))dx dari 0 sampai pi/4
Spoiler title
Tentukan hasil integral untuk:

    \[ \int_{ 0}^{ \pi/4}\frac{\ln(\tan(x)) }{\cos^{ 2}(x) }\,{\rm d}x \]

Buat permisalan:

    \[ y=\tan(x) \to \,{\rm d}y=\frac{1 }{\cos^{ 2}(x) }\,{\rm d}x \]

    \[ x=0\to y=0\quad x=\frac{\pi }{4 }\to y=1 \]

substitusikan ke bentuk awal, lalu integralkan:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{ \pi/4}\frac{\ln(\tan(x)) }{\cos^{ 2}(x) }\,{\rm d}x&=\int_{ 0}^{\pi/4 }\ln(\tan(x))\,\frac{ 1}{ \cos^{ 2}(x)}\,{\rm d}x\\ &=\int_{ 0}^{ 1}\ln(y) \,{\rm d}y\\ &=\left[ y\,\ln(y)-y \right]_{ 0}^{ 1}\\ &=\left[ 1\,\ln(1)-1 \right]-\left[ 0\,\ln(0)-0 \right]\\ &=-1 - 0\\ &=-1 \end{align*}

Perhatikan di sini \ln(0) tidak dapat didefinisikan karena fungsi ln(x) diskontinu di x=0. Untuk mencari nilainya, digunakan limit 0 dari kanan, sehingga:

    \[ \lim_{ y\to 0^{ +}}y\,\ln(y)=0 \]

Jadi, nilai dari

    \[ \int_{ 0}^{ \pi/4}\frac{\ln(\tan(x)) }{\cos^{ 2}(x) }\,{\rm d}x \]

adalah -1.

Integral e^-2x dx
Spoiler title
Tentukan integral dari

    \[ \int{e^{ -2x}}\,{\rm d}x \]

Buat permisalan beserta turunannya:

    \[ y=-2x \to \,{\rm d}y=-2\,{\rm d}x \to \,{\rm d}x =-\frac{ 1}{2 }\,{\rm d}y \]

subsitusikan ke bentuk awal:

    \begin{align*} \int{e^{ -2x}}\,{\rm d}x&=\int{e^{ y}}\times -\frac{ 1}{2 }\,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{2 }\int{e^{ y}}\,{\rm d}y\\ &=-\frac{ 1}{2 }e^{ y}+C \end{align*}

Kembalikan y ke dalam x:

    \begin{align*} -\frac{ 1}{2 }e^{ y}+C &= -\frac{ 1}{2 }e^{ -2x}+C \end{align*}

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int{e^{ -2x}}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\frac{ 1}{2 }e^{ -2x}+C \]

Integral cos(3x)dx dari 0 sampai pi
Spoiler title
Tentukan hasil integral dari

    \[ \int_{ 0}^{\pi }\cos(3x)\,{\rm d}x \]

Buat permisalan,

    \[ y=3x \to \,{\rm d}y=3 \,{\rm d}x \to \,{\rm d}x=\frac{ 1}{3 }\,{\rm d}y \]

    \[ x=0 \to y=0\quad x=\pi \to y=3\pi \]

substitusikan ke bentuk awal soal:

    \begin{align*} \int_{ 0}^{\pi }\cos(3x)\,{\rm d}x&=\int_{ 0}^{ 3\pi}\cos(y)\times \frac{ 1}{3 }\,{\rm d}y\\ &=\frac{ 1}{3 }\int_{ 0}^{3\pi }\cos(y) \,{\rm d}y\\ &=\frac{ 1}{3 }\left[ \sin(y) \right]_{ 0}^{ 3\pi}\\ &=\frac{ 1}{3 }\left[ \sin(3\pi) - \sin(0) \right]\\ &=\frac{ 3}{ 3}\left[ \;0\;-\;0\; \right]\\ &=0 \end{align*}

Jadi nilai dari

    \[ \int_{ 0}^{\pi }\cos(3x)\,{\rm d}x \]

adalah 0.

Integral 1/x^2 ln(1/x)dx
Spoiler title
Tentukan hasil integral:

    \[ \int{\frac{ 1}{x^{ 2} } \ln\left( \frac{ 1}{x } \right)}\,{\rm d}x \]

Misalkan,

    \[ y=\frac{ 1}{x } \]

, maka

    \[ \,{\rm d}y=-\frac{ 1}{x^{ 2} } \,{\rm d}x \]

, substitusikan ke dalam bentuk awal, lalu operasikan pengintegralan.

    \begin{align*} \int{\frac{ 1}{x^{ 2} } \ln\left( \frac{ 1}{x } \right)}\,{\rm d}x&=\int{ -\ln\left( \frac{ 1}{x } \right)\times -\frac{ 1}{ x^{ 2}}\,{\rm d}x }\\ &=\int{ -\ln(y) }\,{\rm d}y\\ &=-\int{ \ln(y) }\,{\rm d}y \end{align*}

Integral dari ln(y):

    \begin{align*} \text{Misalkan }f=\ln(y),\;\,{\rm d}g=\,{\rm d}y\\ \text{maka }\,{\rm d}f=\frac{ 1}{y }\,{\rm d}y,\;g=y \end{align*}

Dengan menggunakan integral parsial:

    \begin{align*} \int{f}\,{\rm d}g&=fg - \int{g}\,{\rm d}f\\ \int{\ln(y)}\,{\rm d}y&=\ln(y).y-\int{1}\,{\rm d}y\\ &=y\ln(y)-y + C \end{align*}

Kembalikan y ke dalam bentuk x:

    \begin{align*} -\int{ \ln(y) }\,{\rm d}y&=-\left( y\ln(y)-y + C \right)\\ &=y-y\ln(y) - C\\ &=\frac{ 1}{ x}-\frac{ 1}{ x}\ln\left( \frac{ 1}{x } \right)-C \end{align*}

Jadi, hasil integral dari

    \[\int{\frac{ 1}{x^{ 2} } \ln\left( \frac{ 1}{x } \right)}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ \frac{ 1}{ x}-\frac{ 1}{ x}\ln\left( \frac{ 1}{x } \right)-C \]

Integral sin(x+1)dx
Spoiler title
Tentukan hasil integral dari

    \[ \int{\sin(x+1)}\,{\rm d}x \]

.Misalkan y=x+1 maka \,{\rm d}y=\,{\rm d}x, substitusikan ke dalam bentuk awal:

    \begin{align*} \int{\sin(x+1)}\,{\rm d}x&=\int{\sin(y)}\,{\rm d}y\\ &=-\cos(y) + C \end{align*}

Kembalikan y ke dalam x, y=x+1

    \[ -\cos(y) + C=-\cos(x+1) + C \]

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int{\sin(x+1)}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[ -\cos(x+1) + C \]

Integral 2x e^(x^2) dx
Spoiler title
Tentukan hasil integral dari

    \[\int{2x.e^{x^2}}\,{\rm d}x \]

Untuk menyelesaikan soal ini, buat permisalan,

    \[ y=x^2 \to {\rm d}y=2x \,{\rm d}x \]

Substitusikan permisalan ke bentuk awal soal, lalu integralkan

    \begin{align*} \int{2x.e^{x^2}}{\rm d}x &= \int{ e^{x^2} . 2x\,{\rm d}x }\\ &= \int{e^y \,{\rm d}y}\\ &=e^y +C \end{align*}

Kembalikan y ke bentuk semula, y=x^2,

    \[ \int{2x.e^{x^2}}\,{\rm d}x=e^{x^2}+C \]

Jadi, hasil pengintegralan

    \[ \int{2x.e^{x^2}}\,{\rm d}x \]

adalah

    \[e^{x^2}+C \]

Kumpulan pembahasan soal integral akan terus diperbarui, jika Anda memiliki soal yang menarik untuk dibahas, tulis di kolom komentar di bawah.

Leave a Reply

Your email address will not be published.