Menentukan Bentuk Eselon Baris Tereduksi Matriks

Posted on

Pada artikel ini akan dibahas penentuan bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Untuk mempermudah membaca langkah pengerjaan, matriks akan diubah ke dalam bentuk tabel, dan masing-masing perubahan tabel akan disertakan keterangan langkah.

Soal 1

    \[\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 2\\2 & 1 & 1 & 3\\0 & -1 & 2 & 4\end{bmatrix}\]

Bentuk tabel

X1X2X3b
110-12
22113
30-124

Temukan poros di kolom ke-1 di baris ke-1

X1X2X3b
110-12
22113
30-124

Kalikan baris ke-1 dengan 2

X1X2X3b
120-24
22113
30-124

Kurangi baris pertama dari baris ke-2 dan kembalikan

X1X2X3b
110-12
2013-1
30-124

Temukan poros di kolom ke-2 di baris ke-2

X1X2X3b
110-12
2013-1
30-124

Kalikan baris ke-2 dengan -1

X1X2X3b
110-12
20-1-31
30-124

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-3 dan kembalikan

X1X2X3b
110-12
2013-1
30053

Buat poros di kolom ke-3 dengan membagi baris ke-3 dengan 5

X1X2X3b
110-12
2013-1
30013/5

Kalikan baris ke-3 dengan -1

X1X2X3b
110-12
2013-1
300-1-3/5

Kurangi baris ke-3 dari baris ke-1 dan kembalikan

X1X2X3b
110013/5
2013-1
30013/5

Kalikan baris ke-3 dengan 3

X1X2X3b
110013/5
2013-1
30039/5

Kurangi baris ke-3 dari baris ke-2 dan kembalikan

X1X2X3b
110013/5
2010-14/5
30013/5

Soal 2

    \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -1\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\]

Bentuk tabel

X1X2X3b
1111-1
20110
30011

Temukan poros di kolom ke-1 di baris ke-1

X1X2X3b
1111-1
20110
30011

Temukan poros di kolom ke-2 di baris ke-2

X1X2X3b
1111-1
20110
30011

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-1

X1X2X3b
1100-1
20110
30011

Temukan poros di kolom ke-3 di baris ke-3

X1X2X3b
1100-1
20110
30011

Kurangi baris ke-3 dari baris ke-2

X1X2X3b
1100-1
2010-1
30011

Soal 3

Selesaikan matriks berikut dengan Gauss Jordan:

    \[\begin{bmatrix}2 & -1 & 3\\1 & 3 & -1\\2 & -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\11\\3\end{bmatrix}\]

Tuliskan bentuk eselon baris yang bersesuaian dengan soal.

    \[\begin{bmatrix}2 & -1 & 3&2\\1 & 3 & -1&11\\2 & -2 & 5&3\end{bmatrix}\]

Bentuk matriks

X1X2X3b
12-132
213-111
32-253

Temukan poros di kolom ke-1 dan tukar baris ke-2 dan ke-1

X1X2X3b
113-111
22-132
32-253

Kalikan baris ke-1 dengan 2

X1X2X3b
126-222
22-132
32-253

Kurangi baris ke-1 dari baris ke-2

X1X2X3b
126-222
20-75-20
32-253

Kurangi baris pertama dari baris ke-3 dan kembalikan

X1X2X3b
113-111
20-75-20
30-87-19

Buat poros di kolom ke-2 dengan membagi baris ke-2 dengan -7

X1X2X3b
113-111
201-5/720/7
30-87-19

Kalikan baris ke-2 dengan 3

X1X2X3b
113-111
203-15/760/7
30-87-19

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-1 dan kembalikan

X1X2X3b
1108/717/7
201-5/720/7
30-87-19

Kalikan baris ke-2 dengan -8

X1X2X3b
1108/717/7
20-840/7-160/7
30-87-19

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-3 dan kembalikan

X1X2X3b
1108/717/7
201-5/720/7
3009/727/7

Buat poros di kolom ke-3 dengan membagi baris ke-3 dengan 9/7

X1X2X3b
1108/717/7
201-5/720/7
30013

Kalikan baris ke-3 dengan 8/7

X1X2X3b
1108/717/7
201-5/720/7
3008/724/7

Kurangi baris ke-3 dari baris ke-1 dan kembalikan

X1X2X3b
1100-1
201-5/720/7
30013

Kalikan baris ke-3 dengan -5/7

X1X2X3b
1100-1
201-5/720/7
300-5/7-15/7

Kurangi baris ke-3 dari baris ke-2 dan kembalikan

X1X2X3b
1100-1
20105
30013

Sehingga diperoleh: x_1=-1, x_2=5, dan x_3=3.

Soal 4

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode Gauss Jordan.

    \begin{align*}x_1-2x_2 &= 5\\3x_1+x_2&=1\end{align*}

Tuliskan bentuk eselon baris yang bersesuaian dengan soal.

    \[\begin{bmatrix}1 & -2 & 5\\3 & 1 & 1\end{bmatrix}\]

Bentuk matriks

X1X2b
11-25
2311

Temukan poros di kolom ke-1 di baris ke-1

X1X2b
11-25
2311

Kalikan baris ke-1 dengan 3

X1X2b
13-615
2311

Kurangi baris pertama dari baris ke-2 dan kembalikan

X1X2b
11-25
207-14

Buat poros di kolom ke-2 dengan membagi baris ke-2 dengan 7

X1X2b
11-25
201-2

Kalikan baris ke-2 dengan -2

X1X2b
11-25
20-24

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-1 dan kembalikan

X1X2b
1101
201-2

Pada tabel paling bawah, diperoleh x=1 dan y=-2.

Soal 5

Selesaikan matriks berikut dengan metode eliminasi Gauss Jordan.

    \[\begin{bmatrix}3 & -1 & 2 &-4\\2 & 1 & 1 &-1\\1 & 3 & 0 & 2\end{bmatrix}\]

Bentuk matriks

X1X2X3b
13-12-4
2211-1
31302

Temukan poros di kolom ke-1 dan tukar baris ke-3 dan ke-1

X1X2X3b
11302
2211-1
33-12-4

Kalikan baris ke-1 dengan 2

X1X2X3b
12604
2211-1
33-12-4

Kurangi baris pertama dari baris ke-2 dan kembalikan

X1X2X3b
11302
20-51-5
33-12-4

Kalikan baris ke-1 dengan 3

X1X2X3b
13906
20-51-5
33-12-4

Kurangi baris pertama dari baris ke-3 dan kembalikan

X1X2X3b
11302
20-51-5
30-102-10

Buat poros di kolom ke-2 dengan membagi baris ke-2 dengan -5

X1X2X3b
11302
201-1/51
30-102-10

Kalikan baris ke-2 dengan 3

X1X2X3b
11302
203-3/53
30-102-10

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-1 dan kembalikan

X1X2X3b
1103/5-1
201-1/51
30-102-10

Kalikan baris ke-2 dengan -10

X1X2X3b
1103/5-1
20-102-10
30-102-10

Kurangi baris ke-2 dari baris ke-3 dan pulihkan

X1X2X3b
1103/5-1
201-1/51
30000

Baris terakhir, semua nol, menunjukkan bahwa x_3 memiliki tak hingga selesaian, sedangkan x_1 dan x_2 mengikuti nilai dari x_3.

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&0&b&2\\ \noalign{\medskip}a&a&4&4\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]

Soal 6

Misalkan

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&0&b&2\\ \noalign{\medskip}a&a&4&4\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]
adalah matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear, tentukan a dan b sedemikian hingga,
a) Sistem tidak memiliki solusi
b) Sistem memiliki solusi unik/tunggal
c) Sistem memiliki banyak selesaian

Pembahasan:

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&0&b&2\\ \noalign{\medskip}a&a&4&4\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]

Kurangi baris 2 dengan baris 1

    \[\left[ \begin {array}{cccc} a&0&b&2\\ \noalign{\medskip}0&a&4-b&2\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right]\]

Kurangi baris 2 dengan baris 3

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&0&b&2\\ \noalign{\medskip}0&0&2-b&2-b\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]

Tambahkan baris 1 dengan baris 2

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&0&2&4-b\\ \noalign{\medskip}0&0&2-b&2-b\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]

Kurangi baris 1 dengan baris 3

    \[ \left[ \begin {array}{cccc} a&-a&0&4-2b\\ \noalign{\medskip}0&0&2-b&2-b\\ \noalign{\medskip}0&a&2&b\end {array} \right] \]

Perhatikan baris 1,
– Sistem tidak memiliki solusi, jika a = 0 dan 4-2b \neq 0 \to b\neq 2

Perhatikan pada baris 2,
– Sistem akan memiliki selesaian yang unik jika 2-b \neq 0 \to b \neq 2,
– Sistem akan memiliki banyak selesaian dengan parameter 1, jika 2-b = 0 \to b=2


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.