Induksi Matematika, Pembuktian, Pernyataan Habis Dibagi

Posted on

Pembuktian melalui induksi matematika adalah teknik pembuktian suatu pernyataan yang tertutup pada bilangan asli (tidak jarang pada beberapa kasus melibatkan bilangan 0 sebagai n). Induksi matematika pada tingkat sekolah umumnya digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang berupa barisan bilangan dan beberapa berupa pernyataan yang habis dibagi pernyataan tertentu.

induksi matematika habis dibagi penerapan
Efek domino merupakan gambaran untuk induksi matematika

Langkah-langkah Induksi Matematika

Cara melakukan pembuktian dengan Induksi Matematika

  1. Buktikan pernyataan benar untuk kondisi tertentu

    Langkah awal ini adalah membuktikan kebenaran untuk kondisi tertentu. Misalkan pada pernyataan: 1+2+3+..+n=1/2 (n2+n), kondisi tertentu misalnya akan dibuktikan kebenarannya untuk n=1.

  2. Membuat asumsi bahwa pernyataan benar untuk n=k

    Ini merupakan bagian dari langkah kedua. Misalnya pada soal di langkah 1, diasumsikan bahwa 1+2+3+..+n=1/2 (n2+n) benar untuk n=k, artinya 1+2+3+..+k=1/2 (k2+k) diasumsikan merupakan pernyataan yang benar.

  3. Membuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1

    Dengan menggunakan asumsi pada langkah 2, perlu dibuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1. Misalnya pada soal di atas, perlu dimanipulasi sedemikian hingga diperoleh:
    1+2+3+..+k+(k+1)=1/2 ((k+1)2+(k+1))

  4. Membuat kesimpulan

    Kesimpulan diambil berdasarkan proses pembuktian di atas, jika langkah 1 dan langkah 2-3 dapat dibuktikan kebenarannya atau terbukti benar, maka pernyataan tersebut benar secara induksi matematika.

Apa itu induksi matematika?

Proses pembuktian pernyataan dalam matematika yang perlu memenuhi dua syarat:
1) Benar untuk kondisi tertentu, misal untuk n=1
2) Dengan asumsi benar untuk n=k, perlu dibuktikan benar pula untuk n=k+1

Bagaimana jika hanya salah satu langkah pembuktian yang terbukti benar?

Jika hanya satu dari dua langkah pembuktian yang terbukti benar, maka kita tidak dapat simpulkan suatu pernyataan benar secara induksi matematika.

Mengapa perlu belajar induksi matematika?

Induksi matematika diperlukan untuk membuktikan pernyataan dan menemukan pola kebenaran pernyataan. Kedua hal itu penting dalam matematika.

Adakah cara lain selain induksi matematika?

Pembuktian selain induksi matematika, antara lain: kontradiksi, pembuktian langsung, kontraposisi, dll.

Pada hal apa saja induksi matematika dapat digunakan?

Pembuktian barisan dan rumus umumnya, pembuktian pernyataan logika, dan bentuk matematika lainnya.


Pembahasan Soal Pembuktian melalui Induksi Matematika

Buktikan dengan induksi matematika bahwa xn – 1 habis dibagi x – 1, n bilangan asli

Buktikan bahwa xn – 1 habis dibagi x – 1. (Catatan: x dan n adalah bilangan bulat).

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n=1 ke xn – 1 akan menghasilkan x-1 yang jelas habis dibagi x – 1. Jadi pernyataan bernilai benar untuk n tertentu, dalam kasus ini, n=1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan untuk suatu n=k, xk – 1 benar habis dibagi x – 1. Dengan asumsi tersebut, kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1.

   

Perhatikan baris terakhir (1), xk+1 – 1 dapat kita jabarkan sebagai penjumlahan dari x( xk – 1 ) dan x – 1. Berdasarkan asumsi awal, kita telah menyatakan xk – 1 habis dibagi x – 1, sehingga perkalian bilangan bulat x berapapun dengan xk – 1 juga akan habis dibagi x – 1. Karena x ( xk – 1 ) dan ( x – 1 ) habis dibagi x – 1, maka penjumlahan keduanya atau x ( xk – 1 ) + ( x – 1 ) juga habis dibagi x – 1 ( ambil contoh bilangan 10 dan 5. 10 dan 5 sama-sama habis dibagi 5, dan penjumlahan keduanya, 10+5=15, juga habis dibagi 5).

Kesimpulan

Karena langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika dapat dibuktikan bahwa xn – 1 habis dibagi x – 1 benar.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1+3+5+..+(2n-1)=n2 untuk n adalah bilangan asli

Buktikan bahwa 1+3+5+..+(2n-1)=n2 untuk n adalah bilangan asli. Contoh ini merupakan contoh induksi matematika pada barisan bilangan.

Sebagai informasi, ruas kiri adalah suatu deret sehingga nilai n=1 memiliki makna sebagai penjumlahan 1 suku pada deret. Untuk n=1, ruas kiri dapat kita tulis 1. Untuk n=3 dijabarkan dalam bentuk 1+3+5 dan seterusnya sampai untuk n=n, dijabarkan dalam bentuk 1+3+5+..+(2n-1).

Langkah 1 Induksi Matematika

Kita ambil misalkan n=3 maka diperoleh pernyataan 1+3+5=32. Kita bandingkan antara ruas kiri dan kanan, hasil penjumlahan barisan di ruas kiri adalah 1+3+5 = 9 sedangkan di ruas kanan diperoleh 32=9. Karena diperoleh hasil yang sama, yaitu 9, maka pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya untuk n=3. Perhatikan bahwa untuk langkah 1 induksi matematika ini, kalian dapat menggunakan berapapun n selama memenuhi syarat pada soal(jika ada).

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n=k atau dapat dituliskan 1+3+5+..+(2k-1)=k2. Selanjutnya kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1.

Untuk n=k+1, pernyataan dapat dijabarkan dalam bentuk sebagai berikut. 1+3+5+..+(2k-1)+(2k+1) = (k+1)2.

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1, tulis terlebih dahulu 1+3+5+..+(2k-1)=k2 yang sudah kita asumsikan benar lalu tambah kedua ruas dengan 2k + 1.

   

Perhatikan baris paling bawah. Ruas kiri merupakan barisan bilangan hasil penjabaran ruas kiri untuk n=k+1 sedangkan ruas kanan memenuhi bentuk aljabar n2 dengan substitusi n=k+1. Sehingga dapat dibuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1.

Kesimpulan

Pernyataan 1+3+5+..+(2n-1)=n2 untuk n adalah bilangan asli, memenuhi 2 syarat induksi matematika, sehingga pernyataan tersebut terbukti benar.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n berlaku 1+2.2+3.22+…+n.2n-1=1+(n-1).2n

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n berlaku 1+2.2+3.22+…+n.2n-1=1+(n-1).2n . Contoh ini merupakan contoh induksi matematika pada barisan bilangan.

Langkah 1 Induksi Matematika

Pertama, ambil suatu n bilangan asli, misalkan n=1. Untuk n=1, ruas kiri adalah suku pertama dari barisan bilangan yang diberikan, yaitu 1. Sedangkan substitusi n=1 ke ruas kanan akan diperoleh: 1 + ( 1-1 ).21 = 1 + 0. 2 = 1.
Ruas kiri dan kanan memiliki nilai yang sama, yaitu 1 untuk n = 1. Jadi syarat induksi matematika yang pertama telah terpenuhi.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n=k
1+2.2 +3.22+… + k . 2k-1= 1 + (k- 1) 2k
Tambahkan kedua ruas dengan (k+1).2k, sehingga pernyataan di atas dapat dituliskan dalam bentuk:
1+2.2 +3.22+… + k . 2k-1 + (k+1).2k = 1 + (k- 1). 2k + (k+1).2k
Selanjutnya, kita perlu memanipulasi ruas kanan agar sesuai dengan bentuk aljabar pada soal, yaitu 1+(n-1).2n. Pembahasan di bawah akan fokus di ruas kanan karena tidak ada perubahan yang perlu dilakukan di ruas kiri.
1 + (k – 1) . 2k + (k+1).2k
Faktorkan (k – 1). 2k + (k+1).2k dengan menarik keluar 2k.
1 + 2k ( (k- 1) + (k+1) )
Operasikan (k – 1) + (k+1)
1 + 2k( 2k )
Perhatikan bentuk di atas dapat kita sederhanakan dengan memisahkan 2k menjadi perkalian 2 dan k, untuk selanjutnya 2 dikalikan dengan 2k.
1 + 2k( 2k ) = 1 + 2.2k( k ) = 1 + k. 2k+1
Sampai di sini, kita bandingkan dengan bentuk aljabar di ruas kanan pada soal. 1+(n-1).2n. Substitusi n=k+1 pada bentuk aljabar tersebut akan menghasilkan:
1 + ( (k+1)-1 ).2k+1 = 1 + k.2k+1
yang sama persis dengan hasil manipulasi aljabar di atas. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan benar untuk n=k+1.

Kesimpulan

Pernyataan 1+2.2+3.22+…+n.2n-1=1+(n-1).2n untuk n semua bilangan asli, memenuhi 2 syarat induksi matematika, sehingga pernyataan tersebut terbukti benar.

Buktikan dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku (n + 1)! > 3n.

Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku (n + 1)! > 3n.

Langkah 1 Induksi Matematika

Pertama, ambil suatu n bilangan asli, misalkan n=4 (Perhatikan syarat pernyataan, yaitu hanya untuk n ≥ 4). Untuk n=4, pada ruas kiri diperoleh (4+1)!=5!. Sedangkan ruas kanan akan diperoleh 3.4
Ruas kiri bila dijabarkan akan menjadi perkalian bilangan 5.4.3.2.1=60 dari sini sudah dapat kita simpulkan bahwa 5! lebih besar daripada 3.4=12.

Langkah 2 Induksi Matematika

Syarat kedua dimulai dengan asumsi bahwa pernyataan dianggap benar untuk n= k, yaitu (k + 1)! > 3k.
Selanjutnya kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan untuk n=k+1. Untuk n=k+1, pernyataan di ruas kiri akan menjadi (k+1+1)! atau bila kita jabarkan akan menjadi (k+2)!=(k+2)(k+1)!. Penjabaran tersebut dapat kita jadikan ide untuk langkah selanjutnya, yaitu mengalikan kedua ruas dengan (k+2).

   

Perhatikan bahwa kedua ruas dikalikan dengan suatu bilangan positif k+2. Kesimpulan k+2 adalah bilangan positif berdasarkan syarat awal yang diberikan pada soal, yaitu n ≥ 4, sehingga tidak ada n negatif pada pernyataan. Kemudian, k+2 merupakan bagian dari suku yang membentuk bilangan faktorial, sehingga berdasarkan sifat bilangan faktorial, k+2 juga haruslah positif.
Karena kedua ruas pada pernyataan (k + 1)! > 3k dikalikan suatu bilangan positif, maka tanda pertidaksamaan dari pernyataan tersebut tidak berubah, atau dengan kata lain, (k + 2)! > 3k(k+2) adalah pernyataan yang benar.

Kesimpulan

Pernyataan (n + 1)! > 3n dengan bilangan asli n ≥ 4, memenuhi 2 syarat induksi matematika, sehingga pernyataan tersebut terbukti benar.

Buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika: 8+11+14+17…+(3n+5)=1/2 n(3n+13)​

Buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika 8+11+14+…+(3n+5)=1/2 n(3n+13)​. Soal ini merupakan salah satu contoh induksi matematika pada barisan bilangan.

Langkah 1 Induksi Matematika

Misalkan untuk n=2, deret di ruas kiri pernyataan dapat kita jabarkan dalam bentuk: 8+11=19 sedangkan di ruas kanan, substitusi n=2 akan menghasilkan 1/2(2)( 3(2)+13 )​=1( 6+13 )=19.
Perhatikan untuk n=2, kedua ruas sama-sama menghasilkan 19, sehingga pernyataan 8+11+14+…+(3n+5)=n/2(3n+13) benar untuk n=2.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n=k, atau dapat kita jabarkan dalam bentuk
8+11+14+…+(3k+5)=1/2 k(3k+13)
Tambahkan kedua ruas dengan ( 3(k+1)+5 )=( 3k + 8 ) yaitu suku pada deret di ruas kiri untuk n = k+1.
8+11+14+…+(3k+5)+(3k+8)=1/2 k(3k+13) +(3k+8)
Kita manipulasi ruas kanan agar memenuhi bentuk aljabar pada pernyataan awal yaitu 1/2 n(3n+13)

   

Perhatikan baris paling bawah, bentuk tersebut sudah memenuhi bentuk awal pernyataan awal 1/2 n(3n+13) dengan substitusi n=k+1, sehingga dapat kita simpulkan bahwa pernyataan 8+11+14+17+…+(3n+5)=1/2 n(3n+13)​ benar untuk n=k+1.

Kesimpulan

Karena kedua syarat induksi matematika telah terpenuhi, maka pernyataan 8+11+14+17+…+(3n+5)=1/2 n(3n+13)​ terbukti benar secara induksi matematika.

Buktikan n(n+1)(n+2) habis dibagi 6

Buktikan bahwa (n)(n+1)(n+2) habis dibagi 6 oleh setiap bilangan asli n dengan induksi matematika.

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n = 1 ke (n)(n+1)(n+2) akan menghasilkan: (1)(1+1)(1+2)=(1)(2)(3)=6. Karena 6 habis dibagi 6, maka pernyataan (n)(n+1)(n+2) habis dibagi 6 benar untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan bahwa pernyataan (n)(n+1)(n+2) habis dibagi 6 benar untuk n = k, sehingga:
(k)(k+1)(k+2)=k3+3k2+2k habis dibagi 6
Selanjutnya kita buktikan bahwa pernyataan (n)(n+1)(n+2) habis dibagi 6 benar untuk n = k + 1
Untuk

   

Perhatikan tiga suku aljabar pada baris terakhir,
i) Asumsi awal k3+3k2+2k sudah dianggap habis dibagi 6,
ii) 3(k2+k) perhatikan bahwa k2+k selalu bernilai genap untuk berapapun n bilangan asli, misalkan n=2, maka k2+k = 22+2 = 6, dan n lainnya. Perhatikan bahwa jika bilangan habis dibagi 6, maka untuk m bilangan asli, 6m juga pasti habis dibagi 6. 6m dapat kita tuliskan dalam bentuk 3x2m, di mana 2m adalah bilangan genap. Oleh karena itu, 3(k2+k) juga pasti habis dibagi 6.
iii) 6(k+1), suku ketiga merupakan perkalian suatu bilangan k+1 dengan 6 sehingga sudah pasti habis dibagi 6. Karena (k+1)(k+2)(k+3) dapat dijabarkan menjadi bentuk penjumlahan 3 suku yang habis dibagi 6, maka dapat disimpulkan bahwa (k+1)(k+2)(k+3) juga habis dibagi 6.

Kesimpulan

Karena langkah 1 dan 2 induksi matematika telah dipenuhi, maka terbukti bahwa (n)(n+1)(n+2) habis dibagi 6 oleh setiap bilangan asli n.

Buktikan n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24

Buktikan bahwa n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 oleh setiap bilangan asli n dengan cara induksi matematika.

Langkah 1 Induksi Matematika

Ambil suatu n bilangan asli, misalkan n = 1. Substitusi n = 1 ke bentuk aljabar n(n+1)(n+2)(n+3).
1(1+1)(1+2)(1+3) = 1(2)(3)(4) = 24
Dengan substitusi n = 1, hasil dari n(n+1)(n+2)(n+3) adalah 24. Karena 24 pasti habis dibagi 24, maka pernyataan n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 adalah pernyataan benar untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 untuk n = k.
Untuk n = k diperoleh: k(k+1)(k+2)(k+3) habis dibagi 24
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 untuk n = k + 1.
Untuk n = k + 1 diperoleh:

   

Perhatikan bahwa terbentuk dua suku aljabar k( (k+1)(k+2)(k+3) ) dan 4( (k+1)(k+2)(k+3) ). Berdasarkan asumsi awal, sudah disepakati bahwa k( (k+1)(k+2)(k+3) ) benar habis dibagi 24. Sehingga untuk mendapatkan kesimpulan n(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 untuk n = k + 1, kita perlu membuktikan bahwa 4( (k+1)(k+2)(k+3) ) juga habis dibagi 24.
Untuk membuktikan 4( (k+1)(k+2)(k+3) ) habis dibagi 24, kita perlu membuktikan bahwa (k+1)(k+2)(k+3) habis dibagi 6 (hasil dari 24/4)
Untuk pembuktian (k+1)(k+2)(k+3) habis dibagi 6 baca soal nomor 6.
Karena (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) dapat dijabarkan menjadi bentuk penjumlahan 2 suku aljabar yang habis dibagi 24, maka dapat disimpulkan bahwa (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) juga habis dibagi 24.

Kesimpulan

Karena langkah 1 dan 2 induksi matematika telah dipenuhi, maka terbukti bahwa (n)(n+1)(n+2)(n+3) habis dibagi 24 oleh setiap bilangan asli n.

Buktikan bahwa 4^(2n+1) + 1 habis dibagi 5

Induksi matematika, buktikan 42n+1 + 1 habis dibagi 5 oleh setiap bilangan asli n.

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n = 1 ke 42n+1 + 1 akan diperoleh:
42(1)+1 + 1 = 43 + 1 = 65
Karena 65 habis dibagi 5, maka pernyataan 42n+1 + 1 habis dibagi 5 benar untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan 42n+1 + 1 benar untuk n = k, atau 42k+1 + 1 habis dibagi 5.
Selanjutnya kita buktikan 42n+1 + 1 habis dibagi 5 untuk n = k + 1
Substitusi n = k ke 42n+1 + 1 akan diperoleh:

   

Perhatikan baris terakhir, asumsi awal sudah menyatakan ( 42k+1 + 1 ) habis dibagi 5. Kemudian 42k+1 ( 15 ) merupakan perkalian bilangan 15 dengan 42k+1. Karena 15 habis dibagi 5, maka 42k+1 ( 15 ) juga pasti habis dibagi 5.
Karena 42(k+1)+1 + 1 dapat dijabarkan ke dalam 2 suku aljabar yang keduanya habis dibagi 5, maka 42(k+1)+1 + 1 juga habis dibagi 5.

Kesimpulan

Karena langkah 1 dan 2 induksi matematika telah dipenuhi, maka terbukti bahwa 42n+1 + 1 habis dibagi 5 oleh setiap bilangan asli n.

Buktikan bahwa 2 + 3 + 5 + … + (2^(n-1) + 1) = 2^n + n – 1

Buktikan bahwa 2 + 3 + 5 + … + (2n-1 + 1) = 2n + n – 1. Contoh ini merupakan contoh induksi matematika pada barisan bilangan.

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n = 1 ke deret di ruas kiri dan rumus di ruas kanan, maka diperoleh:
2 = 21 + 1 – 1
2 = 2 + 1 -1
2 = 2
Jadi pernyataan bernilai benar untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, maka:
2 + 3 + 5 + … + (2k-1 + 1) = 2k + k – 1
Selanjutnya kita buktikan kebenaran pernyataan untuk n = k + 1.
Tambahkan kedua ruas dengan suku selanjutnya dari deret di ruas kiri, yaitu: 2(k+1)-1 + 1 atau 2k + 1
2 + 3 + 5 + … + (2k-1 + 1) + 2k + 1 = 2k + k – 1 + 2k + 1
Kita akan membuktikan kebenaran pernyataan dengan mengubah bentuk di ruas kanan menjadi bentuk awal soal 2n + n – 1 dengan n = k + 1.

   

Perhatikan ruas kanan, 2(k+1) + (k + 1) – 1. Jika kita substitusikan k + 1 = n ke ruas kanan, maka persamaannya menjadi: 2(n) + (n) – 1. Ini sudah sesuai dengan bentuk awal soal, yang artinya kita telah membuktikan bahwa pernyataan 2 + 3 + 5 + … + (2n-1 + 1) = 2n + n – 1 bernilai benar untuk n = k + 1.

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika. Jadi, pernyataan 2 + 3 + 5 + … + (2n-1 + 1) = 2n + n – 1 terbukti benar secara induksi matematika.

Buktikan bahwa 3+6+12+…+3.2^(n-1) = 3(2^n – 1)

Buktikan bahwa 3+6+12+…+3.2n-1 = 3(2n – 1). Contoh ini adalah contoh induksi matematika pada barisan bilangan.

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n = 1 ke pernyataan akan menghasilkan:
3 = 3(21 – 1)
3 = 3(2 – 1)
3 = 3
Dapat dibuktikan bahwa pernyataan 3+6+12+…+3.2n-1 = 3(2n – 1) benar untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, maka:
3+6+12+…+3.2k-1 = 3(2k – 1)
Selanjutnya tambahkan kedua ruas dengan suku selanjutnya untuk deret di ruas kiri, yaitu: 3.2(k+1)-1 atau 3.2k.

   

Selanjutnya, kita akan manipulasi ruas kanan agar menjadi ruas kanan pernyataan awal ( 3(2n – 1) ) dengan n = k + 1.

   

Perhatikan ruas kanan, substitusi balik k + 1 = n, maka akan diperoleh:

   

Bentuk tersebut sudah sesuai dengan ruas kanan pada pernyataan awal dan berlaku untuk n = k + 1.

Kesimpulan

Pernyataan 3+6+12+…+3.2n-1 = 3(2n – 1) dapat dibuktikan kebenarannya melalui langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan ini benar secara induksi matematika.

Buktikan bahwa 7^n – 2^n habis dibagi 5, n bilangan asli

Buktikan bahwa 7n – 2n habis dibagi 5 dengan n bilangan asli dengan induksi matematika.

Langkah 1 Induksi Matematika

Substitusi n = 1 ke pernyataan akan menghasilkan:
71 – 21 = 7 – 2 = 5.
Karen 5 habis dibagi 5, maka dapat dibuktikan bahwa pernyataan 7n – 2n habis dibagi 5 untuk n = 1.

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, maka:
7k – 2k benar habis dibagi 5.

Selanjutnya untuk n = k+1 akan diperoleh:
7k+1 – 2k+1 = 7.7k – 2.2k
Tambahkan -7.2k +7.2k ke dalam bentuk aljabar:
7k+1 – 2k+1 = 7.7k -7.2k +7.2k – 2.2k
Faktorkan
7k+1 – 2k+1 = 7 (7k – 2k) +2k ( 7 – 2 )
7k+1 – 2k+1 = 7 (7k – 2k) +2k ( 5 )

Perhatikan bentuk aljabar: 7 (7k – 2k). Karena asumsi awal sudah menganggap 7k – 2k habis dibagi 5, maka kelipatan 7 dari 7k – 2k juga habis dibagi 5.

Perhatikan bentuk aljabar: 2k ( 5 ). Karena bentuk tersebut merupakan kelipatan 5, maka pasti juga habis dibagi 5.

Penjumlahan dua bentuk aljabar yang sama-sama habis dibagi 5 juga pasti habis dibagi 5, sehingga 7k+1 – 2k+1 = 7 (7k – 2k) +2k ( 5 ) habis dibagi 5.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan 7n – 2n habis dibagi 5 berlaku benar untuk n = k+1

Kesimpulan

Pernyataan 7n – 2n habis dibagi 5 dapat dibuktikan kebenarannya melalui langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan ini benar secara induksi matematika.

Buktikan bahwa 7+9+11+13+…+(2n+5) = n^2+6n

Dengan induksi matematika buktikan bahwa 7+9+11+13+…+(2n+5) = n²+6n.

Langkah 1 Induksi Matematika

Pada deret bilangan di ruas kiri, , untuk akan diperoleh nilai 7. Sedangkan pada ruas kanan, untuk akan diperoleh .

Karena antara ruas kiri dan ruas kanan sama-sama menghasilkan 7 untuk , maka pernyataan terbukti benar untuk .

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan benar untuk suatu , atau dengan kata lain, merupakan pernyataan yang benar.

Pada langkah 2 induksi matematika ini, perlu dibuktikan kebenaran pernyataan untuk . Dengan maka akan diperoleh:

   

Sebelumnya telah diasumsikan bahwa adalah pernyataan benar. Dengan mensubstitusikan ini ke ruas kiri akan diperoleh:

   

Manipulasi bentuk di ruas kiri menjadi bentuk kuadrat dari faktor (k+1)

   

Perhatikan pada baris terakhir, diperoleh hasil yang sama dengan cara pembuktian dari ruas kiri ke ruas kanan. Sehingga dapat dibuktikan kebenaran pernyataan untuk .

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga pernyataan terbukti benar secara induksi matematika.

Tunjukkan bahwa 3 habis membagi (4n^3 -n) untuk n bilangan asli

Tunjukkan bahwa 3 habis membagi untuk .

Langkah 1 Induksi Matematika

Ambil sembarang , misalkan . Dengan substitusi, akan diperoleh: . Karena 3 habis membagi 3, jadi pernyataan 3 habis membagi untuk benar untuk .

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan 3 habis membagi berlaku benar untuk dengan . Artinya, habis dibagi 3.

Dengan asumsi sebelumnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi 3 untuk , atau artinya, habis dibagi 3.

   

Perhatikan pada baris terakhir. Asumsi sebelumnya menyatakan bahwa habis dibagi 3, dan karena adalah bentuk perkalian 3, maka pasti juga habis dibagi 3. Penjumlahan dua bentuk aljabar yang sama-sama habis dibagi 3 juga pasti habis dibagi 3, dengan kata lain, habis dibagi 3.

Sehingga dapat dibuktikan bahwa dengan habis dibagi 3 dan memenuhi langkah 2 induksi matematika.

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga pernyataan 3 habis membagi untuk terbukti benar secara induksi matematika.

Buktikan bahwa 2^4n+3 + 3^3n+1 habis dibagi 11

Buktikan bahwa habis dibagi 11.

Langkah 1 Induksi Matematika

Ambil sembarang , misalkan n=1. Substitusi ke dalam diperoleh:

   

Perhatikan baris terakhir, 209 habis dibagi 11 dengan hasil 19, sehingga pernyataan habis dibagi 11 benar untuk .

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan habis dibagi 11 benar untuk , artinya habis dibagi 11 adalah pernyataan yang dianggap benar.

Selanjutnya membuktikan habis dibagi 11 untuk dengan asumsi pernyataan tersebut benar untuk .

Substitusi ke akan diperoleh:

   

Karena asumsi awal menyatakan habis dibagi 11, maka perkalian 16 terhadapnya juga pasti habis dibagi 16. Pada suku merupakan bentuk perkalian dengan 11, sehingga juga pasti habis dibagi 11. Artinya, bentuk di atas merupakan penjumlahan dua suku yang sama-sama habis dibagi 11, sehingga pasti juga habis dibagi 11.

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga pernyataan habis dibagi 11 terbukti benar secara induksi matematika.

Buktikan bahwa 3^n – 1 habis dibagi 2

Buktikan dengan induksi matematika habis dibagi 2!

Langkah 1 Induksi Matematika

Ambil sembarang bilangan asli n, misalkan . Substitus ke dalam akan diperoleh: . Karena 2 habis dibagi 2, maka pernyataan habis dibagi 2 benar untuk .

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan habis dibagi 2 benar untuk , artinya habis dibagi 2.

Perlu dibuktikan bahwa habis dibagi 2 benar untuk atau membuktikan bahwa habis dibagi 2.

   

Perhatikan baris terakhir, habis dibagi 2 benar berdasarkan asumsi awal, sehingga perkalian tiga terhadapnya. , juga pasti habis dibagi 2. Suku selanjutnya, 2, pasti habis dibagi 2. Oleh karena itu, bentuk aljabar juga pasti habis dibagi 2, sehingga pernyataan habis dibagi 2 benar untuk

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga pernyataan habis dibagi 2 terbukti benar secara induksi matematika.

Buktikan 4^n-1 habis dibagi 3

Langkah 1 Induksi Matematika

Ambil sembarang bilangan asli n, misalkan . Substitusi ke akan diperoleh: . Karena 3 habis dibagi 3, maka telah dibuktikan bahwa pernyataan habis dibagi 3 adalah pernyataan benar untuk .

Langkah 2 Induksi Matematika

Asumsikan pernyataan habis dibagi 3 benar untuk . Artinya, habis dibagi 3.

Akan ditentukan kebenaran pernyataan habis dibagi 3 untuk n=k+1, atau habis dibagi 3.

   

Asumsi awal menyatakan bahwa habis dibagi 3, sehingga kelipatan 4 terhadapnya juga habis dibagi 3.

Karena bentuk habis dibagi 3, maka pernyataan habis dibagi 3 benar untuk .

Kesimpulan

Pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya pada langkah 1 dan 2 induksi matematika, sehingga pernyataan habis dibagi 3 terbukti benar.


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.