Suku Banyak, Materi, latihan soal dan pembahasan

Posted on

TEOREMA SISA

Misalkan suku banyak f(x ) dibagi dengan P( x ) memberikan hasil bagi  H(x) dan sisa S. Persamaan umum yang menyatakan hubungan antara f(x) dengan P(x), H ( x ) dan S dituliskan :

   

Dengan :
f( x ) merupakan suku banyak yang dibagi misalnya diketahui berderajat n
P( x )  merupakan pembagi, misalnya berderajat m
H ( x ) merupakan hasil bagi, berderajat n – m atau derajat suku banyak yang dibagi, dikurangi dengan derajat pembagi
S  merupakan sisa, berderajat maksimum m – 1 atau berderajat maksimum sama dengan derajat pembagi dikurangi satu

Apa itu suku banyak?

f(x) merupakan suku banyak jika memiliki bentuk umum:
axn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta

Apa itu polinomial?

Polinomial dikenal juga sebagai suku banyak yang memiliki bentuk umum:
axn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta

Apa bentuk polinomial dalam kehidupan nyata?

Membuat perhitungan jarak perjalanan suatu kendaraan atau objek. Menghitung keliling, luas, dan volume benda geometris juga dapat dikategorikan ke dalam polinomial.

Adakah nilai batasan pangkat polinomial?

Ya, “0” adalah pangkat paling kecil dalam suatu polinomial.

Bolehkah pangkat polinomial berupa variabel?

Berdasarkan bentuk umumnya,
axn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
pangkat polinomial berupa bilangan bulat dan n pada polinomial tersebut merupakan pengganti indeks ke-n dan bukan merupakan variabel atau pengganti yang belum diketahui.

Apa itu derajat polinomial?

Derajat dalam bahasan polinomial menunjukkan pangkat terbesar dalam polinomial. Derajat 0 dikenal dengan konstanta, derajat 1 linear, derajat 2 kuadrat, dan derajat 3 kubik. Di atas itu tidak ada penamaan khusus.

Apakah pada polinomial berlaku operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi?

Ya, semua berlaku pada polinomial. Perpangkatan dan akar juga berlaku.l

Pembagi dengan ( x – k )

Jika pembagi , maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikut :

   
yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

Oleh karena pembagi berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol, yaitu suatu konstanta yang tidak memuat x. Sisa S dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut ini.

TEOREMA 1

Jika suku banyak f ( x ) berderajat n dibagi dengan ( x – k ), maka sisanya

Teorema di atas dikenal sebagai Teorema Sisa atau Dalil Sisa.

Pembuktian:
Perhatikan kembali persamaan

   

Oleh karena persamaan tersebut berlaku untuk setiap x bilangan real, maka dengan substitusi nilai x = k ke dalam persamaan, akan diperoleh:

   
Jadi terbukti bahwa S = f ( k ).

Contoh 1 :

Tentukan sisa pada pembagian suku banyak dibagi dengan x – 2.

 Jawab :

Suku banyak dibagi x – 2 , sisanya S = f( 2 ). Nilai f( 2 ) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu :
1. Metode substitusi

   
Jadi sisa pembagiannya adalah S = f( 2 ) = 2.

2. Metode bagan / skema
di bagi x – 2.

Dari bagan di atas diperoleh f( 2 ) = 27
Jadi, sisa pembagian S = f( 2 ) = 27

Pembagian dengan ax – b

Dalam pokok bahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa pembagian suku banyak f( x ) dengan ( ax + b ) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S. Sehingga dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

   

Persamaan diatas berlaku untuk semua bilangan real x.
Nilai sisa pembagian S ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

TEOREMA 2

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan ( ax + b) maka sisanya ditentukan oleh

Pembuktian:
Pada persamaan :. Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan substitusi , akan diperoleh:

   

Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian

   

Contoh 2 :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 + 5x2 -11x +8 dengan 3x – 1

Jawab :
Dapat diselesaikan dengan 2 metode :
1. Metode Substitusi

   
Jadi sisa pembagiannya adalah

   

2. Metode Bagan

Dengan,

   

Atau dari bagan diatas diperoleh koefisien-koefisien dari H(x), sehingga

   

Jadi, hasil baginya adalah (x3 + 2x2 -3) dan sisanya adalah 5.

TEOREMA FAKTOR

Pengertian Faktor dan Teorema Faktor

Teorema 3

Misalkan f(x) adalah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Teorema faktor dapat dijabarkan sebagai berikut :
– Jika ( x – k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan
– Jika f(k) = 0 maka ( x – k ) adalah faktor dari f(x)  

Pembuktian:
Pembuktian dilakukan dengan menguraikan dua hal penting yang mendasari teorema faktor, yaitu:
(1) Misalkan (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagai

   
dengan H(x) adalah suku banyak hasil bagi dengan bentuk tertentu.
Substitusi nilai x = k ke dalam persamaan , akan diperoleh:

   
Jadi, jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0

(2) Misalkan f(x) dibagi dengan ( x – k ) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k). Dengan menggunakan teorema 1, pernyataan ini dapat dituliskan sebagai

   
untuk f(k) = 0, persamaan di atas dapat ditulis sebagai:

   

Hubungan ini menunjukkan bahwa ( x – k ) adalah faktor dari f(x). Berdasarkan uraian 1 dan 2 tersebut terbukti bahwa:
( x – k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Contoh 1

Tunjukkan bahwa x – 4 adalah faktor dari

Jawab :
Dengan cara Horner atau substitusi ditunjukkan bahwa nilai f(4) = 0.
Cara substitusi :

   

Karena f(4) = 0 , maka (x – 4) adalah faktor dari .

Contoh 2

Tentukan nilai a, jika mempunyai faktor .

Jawab :
mempunyai faktor (x + 3), maka syaratnya adalah f(-3) = 0.

   

Jadi mempunyai faktor (x + 3) untuk nilai .

Menentukan Faktor – Faktor Suatu Suku Banyak

Untuk menentukan faktor–faktor suku banyak dapat ditentukan dengan menggunakan langkah – langkah sebagai berikut:

Langkah 1
Jika (x – k) adalah faktor dari sukubanyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 +a1x1 + a, maka nilai–nilai k yang mungkin adalah faktor–faktor bilangan bulat dari a.

Langkah 2
Dengan cara coba–coba, substitusi nilai x=k sehingga diperoleh f(x)=0 atau dapat menggunakan cara Horner dengan sisa 0. Jika demikian, maka (x – k) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari f(x).

Langkah 3
Setelah diperoleh sebuah faktor (x – k), faktor–faktor yang lain dapat ditentukan dari suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x – k).

Contoh 3

Tentukan faktor–faktor linear dari suku banyak

Jawab :
, suku konstannya (a0) adalah 128.
Nilai k yang mungkin adalah faktor–faktor bilangan bulat dari a0=128, yaitu ±1, ±2, ±4, dan ±8.

Dengan mencoba satu persatu bilangan bulat tersebut, maka kita dapat menentukan sisa pembagiannya nol, untuk k=±2 atau ±4.

   

Jadi faktor – faktor dari suku banyak adalah .

Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0 , k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak f(x)=0

Akar–akar persamaan suku banyak dapat berupa bilangan rasional maupun irasional. Akar–akar rasional (bulat maupun pecahan) dari suatu persamaan suku banyak secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut:

Teorema Akar–Akar Rasional

Misalkan f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 +a1x1 + a = 0 adalah persamaan suku banyak dengan koefisien–koefisien bilangan bulat. Jika  adalah akar rasional dari f(x)=0, maka c adalah faktor bulat positif dari a dan d adalah faktor bulat dari a.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

Jawab:
Dengan mencoba–coba, beberapa bilangan faktor dari 6 seperti ±1, ±2, ±3, dan ±6, maka akan diketahui bahwa untuk x = -1, akan diperoleh sisa pembagian 0.

Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi

   
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1, 2, 3 }.


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.