Persamaan Diferensial, kajian materi, soal dan pembahasan

Posted on

Persamaan ordo satu

Bentuk Dasar

Persamaan yang mengandung turunan merupakan persamaan differensial. Ordo satu memiliki makna persamaan mengandung turunan pertama suatu fungsi, yang dapat dituliskan sebagai:

(1)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = y' = f(t,y)  \end{equation*}

Perhatikan bahwa untuk menyederhanakan penulisan, kami menulis \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = y'. Suatu fungsi y = \phi(t) adalah solusi jika memenuhi persamaan di atas.

Persamaan Linear

Untuk beberapa bentuk, terdapat metode untuk menentukan solusinya. Misalnya, jika persamaan tersebut linear dalam y, yang dituliskan sebagai:

(2)   \begin{equation*} y'+p(t)y=g(t)  \end{equation*}

Perhatikan bahwa terkadang persamaan diferensial perlu ditulis ulang untuk mendapatkan bentuk yang tepat. Untuk mencari solusi pada interval tertentu (α, β), p(t) harus kontinu pada (α, β), yaitu, p(t) ada untuk setiap t dalam interval (α, β).

Teknik pengintegrasian faktor dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini. Pertama temukan integral apa pun dari p(t). Kemudian tentukan faktor pengintegrasi µ(t) sebagai

(3)   \begin{equation*}\mu(t)=e^{\int{p(t)}dt} \end{equation*}

Sekarang, kalikan persamaan 2 dengan µ(t). Menggunakan aturan rantai, bentuk ini dapat ditulis ulang sebagai:

(4)   \begin{equation*}\frac{d(\mu(t)y)}{dt}=\int{\mu(t)g(t)dt} \end{equation*}

Sehingga solusinya menjadi:

(5)   \begin{equation*}y(t)=\frac{1}{\mu(t)}\int{\mu(s)g(s)ds}+\frac{c}{\mu(t)} \end{equation*}

Dari persamaan ini, bagian \frac{1}{\mu(t)}\int{\mu(s)g(s)ds} disebut solusi partikular dan \frac{c}{\mu(t)} disebut solusi umum. Dalam persamaan diferensial, kumpulan solusi lengkap biasanya dibentuk oleh solusi umum, ditambah kombinasi linier dari solusi tertentu.

Persamaan Diferensial Terpisah

Persamaan diferensial disebut persamaan diferensial terpisah, jika dapat dituliskan sebagai:

(6)   \begin{equation*}\frac{dy}{dx}=\frac{M(x)}{N(y)} \end{equation*}

Dapat ditulis ulang ke dalam bentuk

(7)   \begin{equation*}N(y)dy=M(x)dx \end{equation*}

Solusi untuk persamaan diferensial bentuk terpisah diperoleh dari integrasi sederhana pada persamaan

(8)   \begin{equation*}\int{N(y)dy}=\int{M(x)dx} \end{equation*}

Persamaan Diferensial Linear Ordo Dua

Bentuk Dasar

Bentuk dasar dari Persamaan Diferensial Linear Ordo Dua adalah

(9)   \begin{equation*}\frac{d^2y}{dx^2}=y''=f(t,y,y') \end{equation*}

Persamaan seperti itu sulit diselesaikan. Jadi akan digunakan persamaan diferensial linier ordo dua, yang memiliki bentuk

(10)   \begin{equation*}y''+p(t)y'+q(t)y=g(t) \end{equation*}

Jika persamaan ordo dua dapat dituliskan dalam bentuk persamaan di atas, maka persamaan tersebut disebut linear, dan selain itu disebut dengan nonlinier. Terdapat metode penyelesaian untuk persamaan diferensial tersebut. Namun, dengan asumsi bahwa fungsi p(t), q(t) dan g(t) adalah fungsi kontinu.

Persamaan diferensial linier ordo dua dikatakan homogen jika suku g(t) pada persamaan (10) bernilai 0 untuk semua t. Jika tidak, bentuk tersebut disebut non-homogen.

Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan

Misalkan persamaan diferensial dengan bentuk

(11)   \begin{equation*}ay''+by'+cy=0 \end{equation*}

di mana a, b, dan c konstan. Didefinisikan persamaan karakteristik:

(12)   \begin{equation*}ar^2+br+c=0 \end{equation*}

Jika kita dapat menemukan r yang memenuhi persamaan karakteristik, maka kita tahu bahwa y=e^{rt} adalah solusinya. Namun, faktanya adalah semua kombinasi linier y=ce^{rt} merupakan solusi. Berikut tiga kasus spesifik yang berkaitan.

  1. b^2-4ac>0
    Terdapat dua solusi real r_1 dan r_2 untuk persamaan 12. Keduanya y_1 = e^{r_1t} dan y_2 = e^{r_2t} dan semua kombinasi liniernya merupakan solusi. Jadi solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah:

    (13)   \begin{equation*}y = c_1y_1 + c_2y_2 = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t} \end{equation*}

  2. b^2-4ac=0
    Hanya ada satu solusi r = −\frac{b}{2a} untuk persamaan karakteristik. Kita tahu bahwa y_1 = e^{rt} merupakan solusi. Namun, y_2 = te^{rt} juga merupakan solusi. Jadi solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah:

    (14)   \begin{equation*}y = c_1y_1 + c_2y_2 = c_1e^{rt} + c_2te^{rt} \end{equation*}

  3. b^2-4ac<0
    Tidak ada solusi real, hanya solusi kompleks. Jadi, jika \alpha = −\frac{b}{2a} dan \beta = \frac{\sqrt{4ac − b^2}}{ 2a}, dan juga r_1 = \alpha + i\beta dan r_2 = \alpha - i\beta, maka y_1 = e^{r_1t} dan y_2 = e^{r_2t} merupakan solusi. Menghitung bilangan kompleks dalam semua kombinasi linier dari dua solusi menghasilkan solusi umum:

    (15)   \begin{equation*}y = c_1y_1 + c_2y_2 = e^{\alpha t} (c_1 cos(\beta t) + c_2 sin(\beta t) ) \end{equation*}

Solusi yang diberikan oleh metode di atas adalah semua solusi yang mungkin dari persamaan diferensial.

Leave a Reply

Your email address will not be published.