Pembuktian Identitas Trigonometri dan Penerapan Pada Soal Persamaan

Posted on

Salah satu topik yang banyak diangkat dalam pembelajaran matematika di tingkat sekolah adalah pembuktian trigonometri, identitas trigonometri serta penerapan pembuktian pada soal persamaan trigonometri.

Tujuan dari pembuktian adalah mengembangkan kemampuan kita dalam memanipulasi suatu bentuk trigonometri dan juga menyederhanakan bentuk. Pada beberapa kasus, misalnya limit dan turunan, manipulasi persamaan sangat penting untuk penyelesaian soal.

Pada halaman ini, fokus kita adalah melakukan pembuktian pada persamaan-persamaan yang memuat trigonometri, terutama pada identitas dan formula dasar trigonometri.

pembuktian identitas trigonometri

Sederhanakan Identitas trigonometri berikut: tan2A . csc2A

Pembahasan

Menyederhanakan identitas trigonometri bertujuan untuk mengubah bentuk menjadi lebih sederhana, atau umumnya menjadi bentuk yang dapat dihitung, seandainya bertujuan mencari nilai tertentu.

    \begin{align*}\tan^2(A).\csc^2(A)&=\frac{\sin^2(A)}{\cos^2(A)}.\frac{1}{\sin^2(A)} \\&=\frac{1}{\cos^2(A)}\\&=\sec^2(A)\end{align*}

Perhatikan bahwa ini berlaku hanya jika cos(x)≠0 dan sin(x)≠0

Sederhanakan identitas trigonometri berikut: ( sin(x) . cot2(x) )/cos(x)

Pembahasan

Menyederhanakan identitas trigonometri bertujuan untuk mengubah bentuk menjadi lebih sederhana, atau umumnya menjadi bentuk yang dapat dihitung, seandainya bertujuan mencari nilai tertentu.

    \begin{align*}\frac{\sin(x).\cot^2(x)}{\cos(x)}&=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.\cot^2(x) \\&=\tan(x)\frac{1}{\tan^2(x)}\\&=\frac{1}{\tan^2(x)}\end{align*}

Perhatikan bahwa ini berlaku hanya jika cos(x)≠0 dan tan(x)≠0

Sederhanakan sin2(x) . ( 1 + cot2(x) ) + cos2(x) . ( 1 + tan2(x) )

Pembahasan

Menyederhanakan identitas trigonometri bertujuan untuk mengubah bentuk menjadi lebih sederhana, atau umumnya menjadi bentuk yang dapat dihitung, seandainya bertujuan mencari nilai tertentu.

    \begin{align*}\sin^2(x)&( 1+\cot^2(x) )+\cos^2(x)( 1+\tan^2(x) ) \\&=\sin^2(x)\left( 1+\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \right) + \cos^2(x)\left( 1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}  \right)\\&=\sin^2(x)+\sin^2(x)\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}+\cos^2(x)+\cos^2(x)\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\\&=\sin^2(x)+\cos^2(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x)\\&=2\left( \sin^2(x)+\cos^2(x) \right) \\&=2 ( 1 ) \\&=2\end{align*}

Perhatikan bahwa ini berlaku hanya jika cos(x)≠0 dan sin(x)≠0

Sederhanakan 1/(1 – sin(x)) + 1/( 1 + sin(x) )

Pembahasan

Menyederhanakan identitas trigonometri bertujuan untuk mengubah bentuk menjadi lebih sederhana, atau umumnya menjadi bentuk yang dapat dihitung, seandainya bertujuan mencari nilai tertentu.

    \begin{align*}\frac{1}{1-\sin(x)}+\frac{1}{1+\sin(x)}&=\frac{1+\sin(x)}{(1-\sin(x))(1+\sin(x))}+\frac{1-\sin(x)}{(1-\sin(x))(1+\sin(x))}\\&=\frac{1+\sin(x)+1-\sin(x)}{(1-\sin(x))(1+\sin(x))}\\&=\frac{2}{(1-\sin(x))(1+\sin(x))}\\&=\frac{2}{1-\sin^2(x)}\\&=\frac{2}{\cos^2(x)}\end{align*}

Perhatikan bahwa ini berlaku hanya jika cos(x)≠0 dan sin(x)≠0

Sederhanakan identitas trigonometri berikut: √( 1 + tan2(x) )/√( 1 – sin2(x) )

Pembahasan

Menyederhanakan identitas trigonometri bertujuan untuk mengubah bentuk menjadi lebih sederhana, atau umumnya menjadi bentuk yang dapat dihitung, seandainya bertujuan mencari nilai tertentu.

    \begin{align*}\frac{\sqrt{1+\tan^2(x)}}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}&=\frac{\sqrt{\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}}{\sqrt{\cos^2(x)}}\\&=\frac{ \sqrt{ \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} } }{\sqrt{\cos^2(x)}}\\&=\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}.\frac{1}{\sqrt{\cos^2(x)}}\\&=\frac{1}{\cos^2(x)}\end{align*}

Perhatikan bahwa ini berlaku hanya jika cos(x)≠0 dan sin(x)≠0

Buktikan bahwa 16 .cos^5 x = 10. cos x + 5. cos 3x + cos 5x

Pembahasan

Pembuktian 16 .cos^5 (x) = 10. cos (x) + 5. cos (3x) + cos (5x)dilakukan dari kiri ke kanan:

    \begin{align*}16 .cos^5 (x) &= \left 4 ( 2 \cos^2(x) \right )^2 \cos(x) \\&= 4 \left ( \cos(2x)+1 \right )^2 \cos(x) \\&= 4 \left ( \cos^2(2x) + 2\cos(2x) +1 \right ) \cos(x) \\&= \cos(x) \left ( 4\cos^2(2x) + 8\cos(2x) +4 \right ) \\&= \cos(x) \left ( 2[\cos(4x)+1] + 8\cos(2x) +4 \right ) \\&= 2\cos(x)\cos(4x) + 2\cos(x) + 8\cos(x)\cos(2x) + 4\cos(x) \\&= 2\cos(4x)\cos(x) + 4( 2\cos(2x)\cos(x) ) + 6\cos(x) \\&= \left ( \cos(3x)+\cos(5x) \right ) + 4 \left ( \cos(x) + \cos(3x) \right ) + 6\cos(x)\\&= \cos(3x) + \cos(5x) + 4\cos(x) + 4\cos(3x) + 6\cos(x) \\&=10\cos(x) + 5 \cos(3x) + \cos(5x)\end{align*}

Catatan: Gunakan Formula Werner untuk 2\cos(a)\cos(b) = \cos(a-b)+\cos(a+b).

Perhatikan baris terakhir, yang merupakan ruas kanan dari soal yang akan dibuktikan. Pembuktian selesai dan terbukti kebenarannya.

Buktikan bahwa (cos(A+B))/(cos(A).cos(B))=1-tan(A)tan(B)

Pembahasan

Pembuktian identitas trigonometri bertujuan untuk menunjukkan kebenaran pernyataan dari ruas kiri ke kanan atau sebaliknya.

Pembuktian dilakukan dari kiri ke kanan.

    \begin{align*}\frac{\cos(A+B)}{\cos(A)\cos(B)}&=\frac{\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)}{\cos(A)\cos(B)}\\&=\frac{\cos(A)\cos(B)}{\cos(A)\cos(B)} - \frac{\sin(A)\sin(B)}{\cos(A)\cos(B)}\\&=1-\tan(A)\tan(B)\end{align*}

Baris terakhir merupakan ruas kanan dari soal, sehingga pembuktian selesai.

Buktikan bahwa cos(A + B).cos(A – B) = cos2A – sin2B

Pembahasan

Pembuktian identitas trigonometri dilakukan untuk menunjukkan kebenaran pernyataan dengan cara memanipulasi ruas kiri menjadi ruas kanan, atau sebaliknya.

Pembuktian dari kiri ke kanan.

    \begin{align*}\cos(A+B)\cos(A-B)&=(\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B))(\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B))\\&=\cos^2(A)\cos^2(B)-\sin^2(A)\sin^2(B)\\&=\cos^2(A)(1-\sin^2(B))-(1-\cos^2(A))\sin^2(B)\\&=\cos^2(A)-\cos^2(A)\sin^2(B)-\sin^2(B)+\cos^2(A)\sin^2(B)\\&=\cos^2(A)-\sin^2(B)\end{align*}

Baris terakhir sudah diperoleh bentuk pada ruas kanan soal, pembuktian selesai.

Buktikan bahwa sin(A-B)/sin(A)sin(B) + sin(B-C)/sin(B)sin(C) + sin(C-A)/sin(C)sin(A) = 0

Pembahasan

Pembuktian dari kiri ke kanan.

    \begin{align*}\frac{\sin(A-B)}&{\sin(A)\sin(B)} + \frac{\sin(B-C)}{\sin(B)\sin(C)} + \frac{\sin(C-A)}{\sin(C)\sin(A)}\\&=\frac{\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B))}{\sin(A)\sin(B)} +\frac{\sin(B)\cos(C)-\cos(B)\sin(C))}{\sin(B)\sin(C)} + \frac{\sin(C)\cos(A)-\cos(C)\sin(A))}{\sin(C)\sin(A)}\\&=\frac{\cos(B)}{\sin(B)}-\frac{\cos(A)}{\sin(A)}+\frac{\cos(C)}{\sin(C)}-\frac{\cos(B)}{\sin(B)}+\frac{\cos(A)}{\sin(A)}-\frac{\cos(C)}{\sin(C)}\\&=0\end{align*}

Baris terakhir sudah memenuhi nilai pada ruas kanan soal, yaitu 0. Pembuktian selesai.

Buktikan bahwa tan(3a) – tan(2a) – tan(a) = tan(3a) .tan(2a) .tan(a)

Pembahasan

Pembuktian dari kiri ke kanan.

    \begin{align*}\tan(3a)-\tan(2a)-\tan(a)&=\tan(3a)-(\tan(2a)+\tan(a))\\&=\tan(3a)-\left( \frac{\tan(2a)+\tan(a)}{1-\tan(2a)tan(a)} \right) \left( 1 - \tan(2a)\tan(a) \right) \\&=\tan(3a)-\tan(3a)\left( 1 - \tan(2a)\tan(a) \right) \\&=\tan(3a)-\tan(3a)+\tan(3a)\tan(2a)\tan(a)\\&=\tan(3a)\tan(2a)\tan(a)\end{align*}

Baris terakhir sudah sama persis dengan ruas kanan pada soal, pembuktian selesai.

Buktikan bahwa (1-tan^2(a))/(1+tan^2(a))=cos(2a)

Pembahasan

Pembuktian identitas trigonometri dilakukan dari kiri ke kenan.

    \begin{align*}\frac{1-\tan^2(a)}{1+\tan^2(a)}&=\frac{1-\frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}}{1+\frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}}\\&=\frac{\frac{\cos^2(a)}{\cos^2(a)}-\frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}}{\frac{\cos^2(a)}{\cos^2(a)}+\frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}}\\&=\frac{ \cos^2(a)-\sin^2(a) }{ \cos^2(a)+\sin^2(a) }\\&=\frac{\cos(2a)}{1}\\&=\cos(2a)\end{align*}

Pembuktian selesai, baris terakhir sudah diperoleh bentuk yang sesuai dengan ruas kanan identitas trigonometri pada soal.

Buktikan identitas trigonometri sin(3a) = -4 sin^3(a) + 3 sin(a)

Pembahasan

Pembuktian dilakukan dari kiri ke kanan.

    \begin{align*}\sin(3a)&=\sin(2a+a)\\&=\sin(2a)\cos(a)+\cos(2a)\sin(a)\\&=(2\sin(a)\cos(a))\cos(a)+(1-2\sin^2(a))\sin(a)\\&=2\sin(a)\cos^2(a)+\sin(a)-2\sin^3(a)\\&=2\sin(a)(1-\sin^2(a))+\sin(a)-2\sin^3(a)\\&=2\sin(a)-2\sin^3(a))+\sin(a)-2\sin^3(a)\\&=-4\sin^3(a)+3\sin(a)\end{align*}

Baris terakhir sudah sesuai dengan ruas kanan pada soal, pembuktian selesai.

Buktikan identitas trigonometri cos(3a) = 4 cos^3(a) – 3 cos(a)

Pembahasan

Pembuktian identitas trigonometri akan dilakukan dari ruas kiri ke ruas kanan.

    \begin{align*}\cos(3a)&=\cos(2a+a)\\&=\cos(2a)\cos(a) - \sin(2a)\sin(a)\\&=(2\cos^2(a)-1)\cos(a) - 2\sin(a)\cos(a)\sin(a)\\&=2\cos^3(a)-\cos(a)-2\sin^2(a)\cos(a)\\&=2\cos^3(a)-\cos(a)-2(1-\cos^2(a))\cos(a)\\&=2\cos^3(a)-\cos(a)-2\cos(a)+2\cos^3(a)\\&=4\cos^3(a)-3\cos(a)\\\end{align*}

Pada baris terakhir sudah diperoleh bentuk yang sama dengan ruas kanan pada soal sehingga pembuktian selesai.

Jika a+b+c=180^0, buktikan bahwa sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=4sin(a)sin(b)sin(c).

Pembahasan

Pada pembuktian identitas trigonometri ini, pertama perhatikan syarat awal: a+b+c=180o. Dari syarat tersebut, diperoleh informasi bahwa: c=180^o - (a+b) dan a+b = 180^o -c. Informasi tersebut akan kita gunakan untuk memanipulasi suku aljabar yang memuat variabel c.

    \begin{align*}\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)&=\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2(180^o - (a+b)))\\&=\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(360^o - 2(a+b))\\&=\sin(2a)+\sin(2b)-\sin(2(a+b))\\&=\sin(2a)+\sin(2b)-\sin(2a)\cos(2b)-\cos(2a)\sin(2b) \\&=\sin(2a)(1-\cos(2b))+\sin(2b)(1-\cos(2a))\\&=\sin(2a)(2\sin^2(b))+\sin(2b)(2\sin^2(a))\\&=2\sin(a)\cos(a)(2\sin^2(b))+2\sin(b)\cos(b)(2\sin^2(a))\\&=4\sin(a)\cos(a)(\sin^2(b))+4\sin(b)\cos(b)(\sin^2(a))\\&=4\sin(a)\sin(b)(\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b))\\&=4\sin(a)\sin(b)\sin(a+b)\\&=4\sin(a)\sin(b)\sin(180^o-c)\\&=4\sin(a)\sin(b)\sin(c)\\\end{align*}

Baris terakhir sudah memenuhi ruas kanan identitas trigonometri pada soal, pembuktian selesai.

Buktikanlah bahwa 32.cos^2(x). sin^4(x) = 2 – cos (2x) – 2.cos (4x) + cos (6x)

Pembahasan

Pembuktian dilakukan dari ruas kiri ke ruas kanan.

    \begin{align*}32.\cos^2(x). \sin^4(x)&=8\cos^2(x). 4\sin^4(x)\\&=4(2.\cos^2(x))(2\sin^2(x))^2\\&= 4.(\cos(2x) + 1)(1 - \cos(2x))^2\\&= 4.(\cos(2x) + 1)(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x))\\&= 4.(\cos(2x) + 1)(1 - 2\cos2x + \frac{1}{2}(\cos(4x) + 1))\\&= 2.(\cos(2x) + 1)(2 - 4\cos(2x) + cos(4x) + 1)\\&= 2.(\cos(2x) + 1)(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))\\&= 2.(3\cos(2x) - 4\cos^2(2x) + cos(2x).cos(4x) + 3 - 4cos(2x) + cos(4x))\\&= 6\cos(2x) - 4(\cos(4x) + 1) + \cos(6x) + cos(2x) + 6 - 8\cos(2x) + 2\cos(4x)\\&= 6\cos(2x) - 4\cos(4x) - 4  + \cos(6x) + cos(2x) + 6 - 8\cos(2x) + 2\cos(4x)\\&=2-\cos(2x)-2\cos(4x)+\cos(6x)\end{align*}

Pembuktian selesai, baris terakhir sudah sama persis dengan ruas kanan pada soal.

Jika tan (a + b)=p dan tan (a – b)=q, buktikanlah bahwa tan 2a =(p+q)/(1-pq)

Pembahasan

    \begin{align*}\tan(2a)&=\tan(a+a) \\&=\tan \left[(a + b) + (a - b) \right]&=\frac{\tan(a+b)+\tan(a-b)}{1-\tan(a+b)\tan(a-b)}&=\frac{p+q}{1-pq}\end{align*}

Buktikanlah 64.sin4x. cos4x  =  9 +  6.cos(4x) + cos2(4x) – cos2(2x)

Pembahasan

    \begin{align*}64.\sin^4(x). \cos^4(x) &= 4.4(\sin^2(x))^2.4(\cos^2(x))^2 \\&=4.(2\sin^2(x))^2.(2\cos^2(x))^2 \\&=4.(1-\cos(2x))^2.(1+\cos(2x))^2 \\&=4(1-2\cos(2x)+\cos^2(2x))(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)) \\&=4\left ( 1-2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2} \right ) \left ( 1+2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2} \right ) \\&=\left ( 2-4\cos(2x) + 1 + \cos(4x) \right ) \left ( 2+4\cos(2x)+1+\cos(4x) \right ) \\&=\left ( 3-4\cos(2x) + \cos(4x) \right ) \left ( 3+4\cos(2x)+1+\cos(4x) \right ) \\&=\left ( [3+\cos(4x)]-4\cos(2x) \right ) \left ( [3+1+\cos(4x)]+4\cos(2x) \right ) \\&=\left ( [3 + \cos(4x)]^2 - 16.\cos^2(2x) \right ) \\&=\left ( 9 + 6\cos(4x) + \cos^2(4x) - 16.\cos^2(2x) \right )\end{align*}

Perhatikan baris terakhir, sudah diperoleh hasil yang sama dengan ruas kanan pada soal. Pembuktian selesai.

Buktikan sin(a+b)sin(a-b)=sin^2(a)-sin^2(b)

Pembahasan

    \begin{align*}\sin(a+b)\sin(a-b)&=(\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b))(\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b))\\&=\left( \sin^2(a)\cos^2(b) - \cos^2(a)\sin^2(b) \right) \\&=\left( \sin^2(a)\left[1-\sin^2(b)\right] - \left[1-\sin^2(a)\right]\sin^2(b) \right) \\&=\left( \sin^2(a)-\sin^2(a)\sin^2(b) - \left[\sin^2(b)-\sin^2(a)\sin^2(b)\right] \right) \\&=\left( \sin^2(a)-\sin^2(a)\sin^2(b) - \sin^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b) \right) \\&=\sin^2(a) - \sin^2(b)\end{align*}

Buktikan jumlah sudut dalam segitiga 180 derajat

Akan dibuktikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Dasar yang digunakan:

  1. Besar sudut lurus adalah 180 derajat.
  2. Sifat transversal.
  3. Sifat sudut dalam dan sudut luar.

Perhatikan gambar dua garis paralel dan transversal, dan segitiga berikut ini:

garis transversal paralel

Sudut yang berwarna sama menandakan ukurannya sama.

segitiga pembuktian jumlah sudut 180 derajat

Gambar di atas adalah segitiga ABC dengan ukuran sudut dalamnya berturut-turut adalah \alpha,\beta,\gamma.

Melalui titik A pada segitiga ABC, dibuat garis DE yang sejajar BC. Berdasarkan sifat transversal garis, \beta=\beta',\;\gamma=\gamma'. Karena \angle BAD + \angle BAC +\angle CAE membentuk sudut lurus, maka jumlah ketiga sudut tersebut adalah 180^{ 0}. Sehingga berlaku,

    \begin{align*}\angle BAD + \angle BAC +\angle CAE &=\beta'+\alpha+\gamma'\\180^{ 0}&=\beta+\alpha+\gamma\end{align*}

Terbukti bahwa jumlah semua sudut dalam segitiga adalah 180^{ 0}.


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.