Limit Fungsi Aljabar, Materi dan Latihan Soal

Posted on

Dalam matematika, limit fungsi adalah salah satu pengetahuan penting dan akan banyak diterapkan pada materi selanjutnya, yaitu kalkulus.

Pada pembahasan limit trigonometri, kita telah membahas sedikit tentang limit dan sifat-sifatnya. Kali ini kita akan mengenal limit lebih jauh lagi dan penerapannya dalam latihan soal.

Pendekatan Limit Fungsi

Misalkan f adalah fungsi dengan domain x bilangan Real,

    \[\lim_{x \to a} f(x)=L\]

dibaca limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L.

Limit Kiri dan Kanan

Perhatikan berikut,

    \[\lim_{x \to 2} f(x)=5\]

limit fungsi f untuk x mendekati 2 adalah 5. Hal ini dapat dibenarkan hanya jika dapat ditunjukkan bahwa limit kiri dan kanannya adalah 5. Limit kiri adalah nilai limit untuk nilai x yang mendekati 2 dari kiri sedangkan limit kanan berlaku untuk nilai x yang mendekati 2 dari kanan.

Penulisan limit kiri

    \[\lim_{x \to 2^{-}} f(x)=5\]

Penulisan limit kanan

    \[\lim_{x \to 2^{+}} f(x)=5\]

Ingat bahwa konsep limit berbeda dengan konsep fungsi, meskipun pada beberapa kasus, nilai fungsi dan nilai limit sama untuk x tertentu. Jadi nilai 5 pada contoh limit di atas berbeda dengan f(2) = 5.

Perbedaan Nilai Limit dan Nilai Fungsi

Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjelasan beserta gambar berikut.

grafik tangga
Gambar 1. Fungsi g

Gambar 1 adalah grafik fungsi tangga, misalkan kita beri nama fungsi g. Ketika kita berbicara nilai fungsi g untuk x = 2, maka jawabannya adalah 0, atau dapat kita tuliskan g(2) = 0. Tapi, ketika kita berbicara tentang limit, limit fungsi g saat mendekati 2 adalah tidak ada. Kenapa? Perhatikan grafik, fungsi g bernilai 0 saat mendekati 2 dari kiri dan bernilai 2 saat mendekati 2 dari kanan. Karena limit kiri dan kanannya berbeda, maka dapat kita simpulkan bahwa limit fungsi g saat mendekati 2 adalah tidak ada.

kurva polinomial
Gambar 2. Fungsi h

Perhatikan fungsi kuadrat pada gambar 2, misalkan kita beri nama fungsi h. Jika kita amati grafik tersebut, h(-2) tidak ada, atau tidak ada nilai fungsi h untuk x = -2. Namun, jika kita melakukan pendekatan limit, nilai limit fungsi h saat x mendekati -2 dari kiri adalah 1 dan nilai fungsi h saat mendekati -2 dari kanan adalah 1 juga. Karena limit kiri dan kanannya adalah sama-sama 1, maka nilai limit fungsi h saat x mendekati -2 adalah 1.

Namun pada beberapa kasus, nilai limit dan nilai fungsi dapat sama. Misalkan pada fungsi h, nilai limit h saat x mendekati 2 adalah 0, begitu pula untuk h(2)=0. Meskipun sama, namun tetap ingat konsep limit adalah “mendekati” sedangkan nilai fungsi adalah nilai “aktual” atau nilai yang sebenarnya di titik tersebut.

Sifat-Sifat Limit

Memahami sifat-sifat limit sangat berguna dalam penyelesaian soal limit. Berikut beberapa sifat dasar limit.

Limit fungsi konstan

(1)   \begin{align*} \lim_{x \to a} c=c \\ \lim_{x \to a} x=a \end{align*}

Sifat-sifat limit pada fungsi. Misalkan f dan g adalah fungsi dengan domain x bilangan real dan c konstanta, serta L1 dan L2 merupakan nilai limit fungsi, maka berlaku:

    \begin{align*}&a) \lim_{x \to a} c.f(x)=c.\lim_{x \to a} f(x)=c.L_1 \\&b) \lim_{x \to a} \left [ f(x) + g(x) \right ]=\lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)=L_1 + L_2 \\&c) \lim_{x \to a} \left [ f(x) - g(x) \right ]=\lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)=L_1 - L_2 \\&d) \lim_{x \to a} \left [ f(x) . g(x) \right ]=\lim_{x \to a} f(x) . \lim_{x \to a} g(x)=L_1 . L_2 \\&e) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{L_1}{L_2}\,\,\,\,\,L_2 \neq 0 \\&f) \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} = \sqrt[n]{L_1}\,\,\,untuk\,n\,ganjil\,berlaku\,semua\,L_1\\&\,\,\,untuk\,n\,genap\,,\,berlaku\,hanya\,L_1>0\\&g) \lim_{x \to a} \left [ f(x) \right]^n = \left [ \lim_{x \to a} f(x) \right]^n\end{align*}

Dalam penerapannya pada soal, sifat-sifat aljabar juga digunakan, seperti substitusi, pemfaktoran, manipulasi aljabar, perpangkatan, dan sifat operasi lainnya.

Latihan Soal Limit Fungsi

Setelah memahami secara singkat materi limit di atas, sekarang kita dalami pengetahuan dengan latihan soal. Di bawah terdapat beberapa nomor soal, untuk melihat jawaban dan pembahasan, klik pada soal, dan untuk menutupnya kembali, klik lagi soal.

lim(2x+4) untuk x->0

Tentukan nilai \lim_{x \to 0} \left ( 2x+4 \right ).

Pembahasan

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi langsung. Dengan menggunakan substitusi, akan diperoleh nilai limitnya adalah (2(0) + 4) = 4.

lim(x^4 -4)/(x-2) untuk x->2

Tentukan nilai \lim_{x \to 2} \left ( \frac{x^4 -4}{x-2} \right )

Pembahasan

Untuk soal ini, coba kalian substitusi langsung, maka penyebutnya akan menjadi 0. Pada kasus ini, substitusi langsung tidak diperbolehkan dan fungsi aljabar harus dimanipulasi terlebih dahulu. Caranya adalah dengan memfaktorkan pembilang untuk kemudian mengeliminasi penyebut.

    \begin{align*}\lim_{x \to 2} \left ( \frac{x^4 -4}{x-2} \right ) &= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \right ) \\ \nonumber&=\lim_{x \to 2} \left ( x+2 \right ) \\ \nonumber&= 4\end{align*}

Jadi nilai limitnya adalah 4.

lim(x^4 +3x +2)/(x^4 -2) untuk x -> tak hingga

Tentukan nilai \lim_{x \to \infty } \left ( \frac{x^4 +3x +2}{x^4 -2} \right )

Pembahasan

Soal di atas dibaca limit untuk x mendekati tak hingga. Perhatikan, tak hingga bukanlah suatu bilangan namun untuk menunjukkan bahwa x bergerak ke arah tak hingga atau bergerak terus ke kanan pada garis bilangan. Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita cukup melihat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya. Hal ini dikarenakan pada limit, bilangan apapun akan sama dengan 0 jika dibagi tak hingga.
Perhatikan soal, pangkat tertinggi pada penyebut dan pembilang adalah 4, sehingga baik penyebut maupun pembilang sama-sama kita bagi dengan x4.

    \begin{align*}\lim_{x \to \infty } \left ( \frac{x^4 +3x +2}{x^4 -2} \right ) &= lim_{x \to \infty } \left ( \frac{ \frac{x^4 +3x +2}{x^4} }{ \frac{x^4 -2}{x^4} } \right ) \\ \nonumber&= \lim_{x \to \infty} \frac{ \left ( 1 + \frac{3}{x^3} + \frac{2}{x^4} \right ) }{ 1 -  \frac{2}{x^4} } \\ \nonumber&= \frac{1+0+0}{1+0} \\ \nonumber&= 1 \end{align*}

Sehingga nilai limit untuk soal di atas adalah 1.

lim(x^5 +3x +2)/(x^2 -2) untuk x->tak hingga

Tentukan nilai \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^5 +3x +2}{x^2 -2} \right )

Pembahasan

Soal di atas mirip dengan soal nomor 3. Perbedaannya adalah pada pangkat penyebut dan pembilangnya. Pangkat tertinggi pada pembilangnya adalah 5, sedangkan penyebutnya memiliki pangkat tertinggi 2. Untuk menyelesaikannya, bagi pembilang dan penyebutnya dengan x2. Pemilihan x2 dikarenakan 2<5 atau pangkat tertinggi pada penyebut lebih rendah dari pangkat tertinggi milik pembilang.

    \begin{align*}\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^5 +3x +2}{x^2 -2} \right ) &= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^5 +3x +2}{x^2} }{ \frac{x^2 -2}{x^2} } \\ \nonumber&= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^5}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} }{ \frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2} } \\ \nonumber&= \frac{\infty + 0 + 0}{1-0} \\ \nonumber&= \infty\end{align*}

Nilai limit untuk soal di atas adalah tak hingga. Perhatikan bahwa nilai limit untuk x mendekati tak hingga adalah tak hingga jika pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya.

lim(x^2 +3x +2)/(x^3 -2) untuk x->tak hingga

Tentukan nilai \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^2 +3x +2}{x^3 -2} \right ).

Pembahasan

Perhatikan fungsi aljabar pada soal limit di atas, perbedaan soal ini dengan soal nomor 4 adalah letak pangkat tertingginya. Pada soal ini, pangkat tertinggi penyebutnya lebih tinggi daripada pangkat tertinggi pembilangnya. Cara mengerjakannya tetap sama.

    \begin{align*}\lim_{x \to \infty} \left ( \right ) &= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^2 +3x +2}{x^2} }{ \frac{x^3 -2}{x^2} } \\ \nonumber&= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} }{ \frac{x^3}{x^2} - \frac{2}{x^2} } \\ \nonumber&= \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} }{ x - \frac{2}{x^2} } \\ \nonumber&= \frac{1 +0+0}{\infty - 0} \,\,\,\, ....(1) \\ \nonumber&= 0\end{align*}

Catatan: Perhatikan pada langkah (1), hal ini dapat dilakukan karena konsep yang digunakan adalah limit. Pada operasi aljabar biasa, pembagian dengan tak hingga tidak terdefinisi.
Jika kita bandingkan dengan soal nomor 4, nilai limit untuk x mendekati tak hingga adalah nol jika pangkat tertingginya penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi pembilang.

    \[\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{ax^m+bx^{m-1}+cx^{m-2}+…}{px^n+qx^{n-1}+rx^{n-2}+…} \right )=\left{\begin{matrix}\infty & untuk\,m>n \\\frac{a}{p} & untuk\,m=n \\0 & untuk\,m<n \\\end{matrix}\right.\]

lim(akar(2x^2+x-3)-akar(2x^2+4x-6)) untuk x-> tak hingga

Tentukan nilai \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2 +x -3} - \sqrt{2x^2 +4x -6} \right ).

Pembahasan

Soal nomor 6 adalah variasi lain dari soal limit. Untuk menyelesaikan soal ini, ada formula khusus untuk beberapa kasus:

    \[\lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2 +x -3} - \sqrt{2x^2 +4x -6} \right ) \left{\begin{matrix}\infty & untuk\,a>p \\\frac{b-q}{2\sqrt{a}} & untuk\,a=p \\-\infty & untuk\,a\end{matrix}\right.\]

Karena pada soal nilai a dan p sama-sama 2, maka kita gunakan formula kedua, yaitu (b – q)/2√a
Kita bedah soal, nilai a = 2, b = 1, dan q = 4.
Jadi nilai limit untuk soal nomor 6 adalah

    \begin{align*}\frac{b-q}{2\sqrt{a}} &= \frac{1-4}{2\sqrt{2}} \\ \nonumber&= \frac{-3}{2\sqrt{2}} \\ \nonumber&= \frac{-3\sqrt{2}}{4}\end{align*}

lim(2-x)(x-akar(3x-2)) untuk x->2

Tentukan nilai \lim_{x \to 2} \left ( \frac{2-x}{x-\sqrt{3x-2}} \right ).

Pembahasan

Perhatikan, jika kita terapkan substitusi pada soal ini, maka soal di atas menjadi:

    \begin{align*}\lim_{x \to 2} \left ( \frac{2-x}{x-\sqrt{3x-2}} \right ) &= \frac{2-2}{2-\sqrt{3(2)-2}} \\ \nonumber\frac{0}{2-\sqrt{4}} \\ \nonumber\frac{0}{0}\end{align*}

Untuk menyelesaikan soal ini, perlu dilakukan perkalian sekawan.

    \begin{align*}\lim_{x \to 2}\left ( \frac{2-x}{x-\sqrt{3x-2}} \right ) &= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{2-x}{x-\sqrt{3x-2}} \right ) \left ( \frac{x+\sqrt{3x-2}}{x+\sqrt{3x-2}} \right ) \\ \nonumber&= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{ (2-x)(x+\sqrt{3x-2}) }{x^2 - (3x-2)} \right ) \\ \nonumber&= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{ (2-x)(x+\sqrt{3x-2}) }{x^2 - 3x+2)} \right ) \\ \nonumber&= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{ (2-x)(x+\sqrt{3x-2}) }{-(2-x)(x-1)} \right ) \\ \nonumber&= \lim_{x \to 2} \left ( \frac{ (x+\sqrt{3x-2}) }{-(x-1)} \right ) \\ \nonumber&= \frac{2+\sqrt{3(2)-2}}{-(2-1)} \\ \nonumber&= \frac{2+\sqrt{4}}{-1} \\ \nonumber&=-\frac{2+2}{1} \\ \nonumber&=-4\end{align*}

Jadi nilai limit untuk soal nomor 7 adalah 4.

lim(9-akar(x+81))/(x)

Tentukan nilai \lim_{x \to 0} \frac{9=\sqrt{x+81}}{x}.

Pembahasan

    \begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{9-\sqrt{x+81}}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{(9-\sqrt{x+81})(9+\sqrt{x+81})}{x(9+\sqrt{x+81})} \\ \nonumber&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+81}+9} \\ \nonumber&= -\frac{1}{\sqrt{0+81}+9} \\ \nonumber&= -\frac{1}{18}\end{align*}


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.