Barisan dan Deret, Menentukan Suku ke-n

Posted on

Materi kita kali ini adalah barisan dan deret. Perhatikan soal berikut.

Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 8 dan U6 = 17 tentukan nilai suku ke 20

Sebelum membahas soal di atas, alangkah baiknya kita mengingat ulang materi barisan dan deret yang telah kita pelajari.

Barisan dan Deret secara umum

Secara sederhana, barisan dapat kita artikan sebagai kumpulan objek yang memiliki aturan. Aturannya adalah masing-masing objek di dalam barisan dapat dihubungkan dengan “sesuatu” yang unik yang sering disebut dengan indeks dan objek-objek dalam barisan disusun berurutan sesuai indeks. Indeks ini sering dilambangkan dengan n dan ditulis kecil di bawah variabel tertentu, misalnya: Pn serta merupakan bilangan asli. Perhatikan tabel di bawah ini untuk memahaminya.

Indeks

 

Objek

A1

 

Apel

A2

 

Bluberi

A3

 

Ceri

A4

 

Duku

B1

 

Sapi

B2

 

Kambing

Perhatikan di atas terdapat dua kelompok, yaitu A dan B. Jika kalian telah belajar materi himpunan, A dan B dapat kita tuliskan sebagai berikut: A={Apel, Bluberi, Ceri, Duku} dan B={Sapi, Kambing}. Pada himpunan, urutan tidak diperhatikan, artinya B={Sapi, Kambing} akan sama artinya dengan B={Kambing, Sapi}. Sedangkan pada barisan, urutan diperhatikan, sehingga penulisan Sapi, Kambing akan berbeda artinya dengan Kambing, Sapi. Begitu juga di kelompok A, penulisan Apel, Bluberi, Ceri, Duku akan berbeda dengan Apel, Ceri, Bluberi , Duku. Hal ini disebabkan karena masing-masing objek sudah dipasangkan dengan indeksnya masing-masing. Sapi sudah dipasangkan dengan indeks 1 dan Kambing sudah dipasangkan dengan indeks 2. Kita juga tidak diperbolehkan memasukkan Apel yang merupakan kelompok A ke kelompok B, dan sebaliknya, objek pada kelompok B tidak boleh dimasukkan ke kelompok A.

Pada matematika, khususnya matematika sekolah, objek yang sering digunakan adalah bilangan, sehingga dikenal sebagai barisan bilangan. Namun, kembali lagi pada definisi secara umum, bahwa objek pada barisan tidak tertutup hanya pada bilangan.

Barisan bilangan yang kita pelajari di sekolah, umumnya menggunakan variabel pengelompokan U dan indeks n bilangan asli, misalkan U1 yang berarti bilangan dengan indeks 1, dan seterusnya sampai indeks n yang biasa ditulis sebagai Un.

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan

Barisan Aritmetika dalam matematika dapat kita definisikan sebagai barisan bilangan di mana hasil pengurangan masing-masing bilangan yang berurutan selalu konstan atau sama. Contoh mudah dari barisan aritmetika adalah bilangan asli. Hasil pengurangan masing-masing bilangan yang berurutan pada barisan bilangan asli adalah 1. Bagaimana menentukannya?

Misalkan diberikan bilangan asli yang kurang dari 8, dapat kita tuliskan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Perhatikan bilangan yang berurutan, misalkan U1 dan U2. Pada barisan bilangan asli, U1=1 dan U2=2, hasil pengurangan U2 – U1 adalah 2 – 1 =1. Perhatikan bahwa pada barisan, operasi pengurangan yang dimaksud adalah mengurangkan suatu bilangan dengan bilangan sebelumnya dan tidak berlaku kebalikannya.

Secara matematis, A merupakan barisan bilangan jika berlaku Un+1 – Un = Un+2 – Un+1= b , dengan U adalah bilangan di dalam A, b adalah beda atau selisih kedua bilangan dan n adalah bilangan asli yang merupakan indeks masing-masing bilangan.

Deret

Penjumlahan bilangan-bilangan dalam barisan disebut dengan deret. Jika pada barisan kita mengenal Un , maka pada deret kita akan menggunakan Sn . Indeks pada deret memiliki makna yang berbeda dengan indeks pada barisan. Sn dapat diartikan sebagai penjumlahan semua bilangan yang berindeks 1 sampai n. Misalkan pada bilangan asli, S5 memiliki makna 1+2+3+4+5, sehingga dapat kita tuliskan S5=15.

Secara matematis, kita dapat menuliskan Sn=U1+ U2+ U3+ … + Un.

Berikut adalah rumus yang sering digunakan dalam menentukan elemen ke-n dari suatu barisan dan rumus dari deret aritmetika:

   

dengan a adalah suku pertama, n adalah indeks barisan dan b adalah beda.

Barisan dan Deret Geometri

Barisan

Perbedaan mendasar antara barisan aritmetika dan geometri adalah pada aturan yang harus dipenuhi untuk masing-masing bilangan yang berurutan. Jika pada barisan aritmetika kita mengenal beda, maka pada barisan geometri kita akan mengenal rasio.

Rasio adalah perbandingan dua bilangan yang berurutan pada barisan geometri, yaitu hasil pembagian bilangan tertentu dengan bilangan sebelumnya. Secara matematis, kita dapat mendefinisikan barisan geometri sebagai berikut.

A merupakan barisan geometri jika Un+1 / Un = Un+2 / Un+1 = r , di mana U merupakan bilangan yang berada di dalam himpunan A dan n merupakan indeks yang bersesuaian, serta r adalah rasio.

Bilangan berpangkat adalah contoh barisan geometri, misalnya 2¹, 2², 2³ … 2n . Bilangan pada barisan tersebut merupakan kelipatan dua, atau dapat kita katakan bahwa rasio barisan bilangan tersebut adalah 2. Cara memperoleh rasio barisan tersebut adalah dengan membagi salah satu elemen dengan elemen sebelumnya, misalkan 22 dibagi 21 yang hasilnya adalah 2.

Deret

Deret pada geometri dan aritmetika memiliki makna yang sama, yaitu penjumlahan elemen-elemen pada barisannya. Misalkan pada barisan bilangan berpangkat 2, S3 dapat kita jabarkan sebagai berikut: S3 = 21 +22 +23 .

Berikut adalah rumus yang sering digunakan dalam menentukan elemen ke-n dari suatu barisan dan rumus dari deret geometri:

   

dengan a adalah suku pertama, r adalah rasio dan n adalah indeks dari barisan.

Pembahasan Soal

Soal 1

Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 8 dan U6 = 17 tentukan nilai suku ke 20​.

Soal di atas berkaitan dengan barisan aritmetika. Diketahui U3= a + 2b = 8 dan U6= a + 5b = 17. Dengan menggunakan eliminasi, kita dapat menentukan nilai b.

a + 5b = 17
a + 2b = 8
3b = 9 –> b = 3

Dengan substitusi b = 3 ke persamaan a + 2b = 8, kita peroleh a = 2. Sehingga rumus umum barisannya adalah Un= 2n + 3.

Untuk menentukan suku ke-20 atau n = 20, kita substitusikan n = 20 ke rumus umumnya.

Un= 2n + 3 –> U20= 2 ( 20 ) + 3 = 43.

Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah (Jika Anda menggunakan HP, klik exit mobile version untuk membuka kolom komentar). Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.