Aturan Cramer, Soal dan Pembahasan

Posted on

Prakata

Aturan Cramer atau kaidah Cramer, ditemukan oleh matematikawan Swiss, Gabriel Cramer, adalah salah satu prosedur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dasar metode ini adalah determinan dan matriks, sehingga dalam pengoperasiannya, pemahaman terhadap matriks sangat penting dalam pembahasan soal terkait aturan Cramer ini. Penerapan aturan Cramer.

Mengapa menggunakan aturan Cramer? Penerapan aturan Cramer memungkinkan untuk mendapatkan nilai x, y, atau z tanpa harus mencari masing-masing. Bandingkan dengan cara eliminasi atau substitusi, untuk mencari y terkadang harus mengetahui nilai x atau z atau keduanya terlebih dahulu.

Bentuk Umum Aturan Cramer

Sistem dengan n persamaan linear dan n variabel, dapat ditulis dalam perkalian matriks sebagai berikut:
Ax = b
dimana A adalah matriks persegi ordo n dan determinannya tidak nol, serta vektor kolom x = ( x1, x2, … xn )T dan b = ( b1, b2, … bn )T.

Kemudian teorema ini menyatakan bahwa sistem memiliki solusi tunggal:

    \[x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)} \,\,\,\,\,\,\, dengan \,\, i=1,2,3,...,n\]

di mana A_i adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-i pada matriks A menjadi vektor kolom b.

Penerapan Aturan Cramer Pada Persamaan Linear

Persamaan Linear Dua Variabel

Diberikan sistem persamaan linear dua variabel:

    \[\left{\begin{matrix}a_1 x + b_1 y & = & c_1 \\a_2 x + b_2 y & = & c_2\end{matrix}\right.\]

yang dapat ditulis dalam bentuk matriks:

    \[\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\]

Misalkan a1b2 – b1a2 tidak nol, maka nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan aturan Cramer, yaitu membagi determinan matriks yang telah dimodifikasi dengan determinan matriks awal:

    \[ \ x=\frac{\begin{vmatrix}c_1 & b_1\\c_2 & b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{vmatrix}}\frac{c_1b_2-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1} \,\,\, , \,\,\,y=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & c_1\\a_2 & c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{vmatrix}}\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}\]

Persamaan Linear Tiga Variabel

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

    \[\left{\begin{matrix}a_1x + b_1y + c_1z & = & d_1\\a_2x + b_2y + c_2z & = & d_2\\a_3x + b_3y + c_3z & = & d_3\end{matrix}\right.\]

yang dapat ditulis dalam bentuk matriks:

    \[\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\d_3\end{bmatrix}\]

Misalkan determinan matriks ordo 3 tersebut tidak nol, maka x, y dan z dapat dicari dengan cara membagi determinan matriks yang telah dimodifikasi dengan determinan matriks awal:

    \[x=\frac{\begin{vmatrix}d_1 & b_1 & c_1\\d_2 & b_2 & c_2\\d_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}} \,\,,\,\,y=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & d_1 & c_1\\a_2 & d_2 & c_2\\a_3 & d_3 & c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}} \,\,,\,\,z=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & d_1\\a_2 & b_2 & d_2\\a_3 & b_3 & d_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}}\]

Penerapan Aturan Cramer Pada Soal

Soal 1 Penyelesaian SPLDV dengan aturan Cramer

Selesaikan SPLDV berikut dengan aturan Cramer:
x – 2y + 4 = 0, 2x + y + 3 = 0

Pembahasan

Untuk masing-masing persamaan, pindahkan konstanta di ruas kiri ke ruas kanan.
x – 2y = -4, 2x + y = -3

Bentuk matriks untuk soal:

    \[\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-4\\-3\end{bmatrix}\]

Determinan matriks ordo 2:

    \[\begin{vmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{vmatrix}=(1\times1)-(-2\times 2)=5\]

Nilai x dan y :

    \begin{align*} x&=\frac{ \begin{vmatrix} -4 & -2\\ -3 & 1 \end{vmatrix} }{5} \\ &=\frac{(-4\times1)-(-2\times -3)}{5} \\ &=\frac{-10}{5} \\ &=-2 \end{align*}

    \begin{align*} y&=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & -4\\ 2 & -3 \end{vmatrix} }{5} \\ &=\frac{(1\times-3)-(-4\times 2)}{5} \\ &=\frac{5}{5} \\ &=1 \end{align*}

Sehingga diperoleh nilai x dan y berturut-turut adalah -2 dan 1.

Soal 2 Penerapan aturan Cramer pada SPLDV

Selesaikan SPLDV berikut dengan aturan Cramer:
x – 1 = 2(y – 1), x + y = 5(x – y + 3)

Pembahasan

Untuk masing-masing persamaan, jabarkan, lalu pindahkan konstanta di ruas kiri ke ruas kanan.

x – 1 = 2(y – 1)
x – 1 = 2y -2
x – 2y = -1
x + y = 5(x – y + 3)
x + y = 5x – 5y + 15
4x – 6y = -15

Bentuk matriks untuk soal:

    \[\begin{bmatrix}1 & -2\\4 & -6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\-15\end{bmatrix}\]

Determinan matriks ordo 2:

    \[\begin{vmatrix}1 & -2\\4 & -6\end{vmatrix}=(1\times-6)-(-2\times 4)=2\]

Nilai x dan y :

    \begin{align*} x&=\frac{ \begin{vmatrix} -1 & -2\\ -15 & -6 \end{vmatrix} }{2} \\ &=\frac{(-1\times-6)-(-2\times -15)}{2} \\ &=\frac{-24}{2} \\ &=-12 \end{align*}

    \begin{align*} y&=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & -1\ 4 & -15 \end{vmatrix} }{2} \\ &=\frac{(1\times-15)-(-1\times 4)}{2} \\ &=\frac{-11}{2} \end{align*}

Sehingga diperoleh nilai x dan y berturut-turut adalah -12 dan -11/2.

Pembahasan SPLDV dengan Aturan Cramer 3x1-4x2=-5; 2x1+x2=4

Bentuk Matriks

X1X2b
13-4-5
2214

Determinan matriks utama

X1X2
13-4
221

D = 11

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

bX2
1-5-4
241

D1 = 11  

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

X1b
13-5
224

D2 = 22

x1 = D1 / D = 11 / 11 = 1
x2 = D2 / D = 22 / 11 = 2

HS=\left\{ x_1=1, x_2=2 \right\}

Temukan Solusi SPLDV 2x+y=4; x -2y= -3 dengan aturan Cramer

Bentuk matriks

xyb
1214
21-2-3

Determinan matriks utama

xy
121
21-2

D = -5

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

by
141
2-3-2

D1 = -5

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

xb
124
21-3

D2 = -10

x = D1 / D = (-5) / (-5) = 1
y = D2 / D = (-10) / (-5) = 2

HS=\left\{ x=1, y=2 \right\}

Solusi SPLDV 2x – 3y = 7; 3x + 2y = 4 dengan Kaidah Cramer

Pembahasan soal penyelesaian SPLDV dengan aturan Cramer

Bentuk matriks

xyb
12-37
2324

Determinan matriks utama

xy
12-3
232

D = 13

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

by
17-3
242

D1 = 26

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

xb
127
234

D2 = -13

x = D1 / D = (26) / (13) = 2
y = D2 / D = (-13) / (13) = -1

HS=\left\{ x=2, y=-1 \right\}

x + 2y = 2 ; 2x + 4y = 8 SPLDV tanpa solusi

Berikut ini adalah penerapan aturan Cramer pada SPLDV yang tidak memiliki solusi. Ciri khas untuk menentukan SPLDV tidak memiliki solusi melalui aturan Cramer adalah nilai determinan matriks utamanya nol.

Bentuk matriks

xyb
1122
2248

Tulis matriks utama dan tentukan determinannya

xy
112
224

D = 0

Karena diperoleh determinan matriks utamanya adalah nol, maka pembagian terhadap nol tidak terdefinisi. Jadi, tidak ada nilai x dan y yang akan memenuhi sistem.

Pembahasan soal aturan Cramer SPLDV 2x – 3y = 3; x + 2y = 5

Bentuk matriks

xyb
12-33
2125

Determinan matriks utama

xy
12-3
212

D = 7

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

by
13-3
252

D1 = 21

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

xb
123
215

D2 = 7

x = D1 / D = (21) / (7) = 3
y = D2 / D = (7) / (7) = 1

HS=\left\{ x=3, y=1 \right\}

Soal Aturan Cramer 3x + 2y = –12; 9x – y = −57

Bentuk matriks

xyb
132-12
29-1-57

Determinan matriks utama

xy
132
29-1

D = -21

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

by
1-122
2-57-1

D1 = 126

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

xb
13-12
29-57

D2 = -63

x = D1 / D = (126) / (21) = 6
y = D2 / D = (-63) / (21) = -3

HS=\left\{ x=6, y=-3 \right\}

Pembahasan dengan Aturan Cramer x + 5y = 7; 3x + y = 7

Bentuk matriks

xyb
1157
2317

Determinan matriks utama

xy
115
231

D = -14

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

by
175
271

D1 = -28

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi dan tentukan determinannya

xb
117
237

D2 = -14

x = D1 / D = (-28) / (-14) = 2
y = D2 / D = (-14) / (-14) = 1

HS=\left\{ x=2, y=1 \right\}


Soal 3 Aturan Cramer untuk solusi SPLTV

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan aturan Cramer:
2x + 3y − z = 1, 4x + y − 3z = 11, dan 3x − 2y + 5z = 21.

Pembahasan

Buat matriks yang sesuai dengan soal,

    \[\begin{bmatrix}2 & 3 & -1\\4 & 1 & -3\\3 & -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\\21\end{bmatrix}\]

Buat matriks yang dimodifikasi: Dx, Dy, Dz

    \[D_x=\begin{vmatrix}1 & 3 & -1\\11 & 1 & -3\\21 & -2 & 5\end{vmatrix} \,\,,D_y=\begin{vmatrix}2 & 1 & -1\\4 & 11 & -3\\3 & 21 & 5\end{vmatrix} \,\,,D_z=\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\4 & 1 & 11\\3 & -2 & 21\end{vmatrix}\]

Cari masing-masing determinan,

aturan cramer 3x3

Gunakan determinan untuk menentukan masing-masing nilai x, y, dan z.

    \begin{align*} x&=\frac{D_x}{D} \\ &=\frac{-312}{-78} \\ &=4 \\ \\ y&=\frac{D_y}{D} \\ &=\frac{156}{-78} \\ &=-2 \\ \\ z&=\frac{D_z}{D} \\ &=\frac{-78}{-78} \\ &=1 \end{align*}

Kesimpulan

Jadi, melalui aturan Cramer, diperoleh solusi x = 4, y = -2, dan z = 1

Penyelesaian SPLTV 2x+3y-z&=20, 3x+2y+z&=20, +4y+2z&=15

Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel:

    \begin{align*}2x+3y-z&=20\,\,\,\,\,.....(1) \\3x+2y+z&=20\,\,\,\,\,.....(2) \\x+4y+2z&=15\,\,\,\,\,.....(3) \\\end{align*}
Pembahasan dengan menerapkan aturan Cramer.

Pembahasan

Tabel matriks yang bersesuaian

xyzb
123-120
232120
314215

Tulis matriks utama dan hitung determinannya

xyz
123-1
2321
3142

Contoh cara menghitung determinan:

determinan matriks utama spltv cramer

Jumlahkan setiap nilai dari perkalian bilangan-bilangan di sepanjang garis/panah yang sama, perhatikan juga tanda positif atau negatifnya. Untuk menentukan determinannya, kurangkan hasil penjumlahan panah yang mengarah ke bawah (hijau) dengan panah yang mengarah ke atas (biru).

D = -25

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

byz
1203-1
22021
31542

Dx = -125

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

xbz
1220-1
23201
31152

Dy = -75

Ganti kolom 3 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

xyb
12320
23220
31415

Dz = 25

Tentukan solusi x, y, dan z dengan membagi determinan yang bersesuaian dengan determinan matriks utama.

    \begin{align*}x&=\frac{Dx}{D}=\frac{-125}{-25}=5\\y&=\frac{Dy}{D}=\frac{-75}{-25}=3\\z&=\frac{Dz}{D}=\frac{25}{-25}=-1\\\end{align*}

Jadi, selesaian dari sistem persamaan tiga variabel tersebut adalah \left\{ 5,3,-1 \right\}

Penerapan aturan Cramer pada penyelesaian SPLTV x – 2y + 3z = 7\ 2x + y + z = 4\ – 3x + 2y – 2z = -10

Pembahasan soal sistem persamaan dengan aturan Cramer:

    \begin{align*}x - 2y + 3z & = 7\\ 2x + y + z & = 4\\ - 3x + 2y - 2z & = - 10\end{align*}

Pembahasan

Tabel matriks yang bersesuaian

xyzb
11-237
22114
3-32-2-10

Tulis matriks utama dan hitung determinannya

xyz
11-23
2211
3-32-2

Klik di sini untuk cara menghitung determinan.

D = 15

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

byz
17-23
2411
3-102-2

Dx = 30

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

xbz
1173
2241
3-3-10-2

Dy = -15

Ganti kolom 3 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

xyb
11-27
2214
3-32-10

Dz = 15

Tentukan solusi x, y, dan z dengan membagi determinan yang bersesuaian dengan determinan matriks utama.

    \begin{align*}x&=\frac{Dx}{D}=\frac{30}{15}=2\\y&=\frac{Dy}{D}=\frac{-15}{15}=-1\\z&=\frac{Dz}{D}=\frac{15}{15}=1\\\end{align*}

Jadi, selesaian dari sistem persamaan tiga variabel tersebut adalah \left{ 2,-1,1 \right}

Penerapan aturan Cramer pada penyelesaian SPLTV 2x_1 – 4x_2 + 5x_3 = – 33\ 4x_1 – x_2 & = – 5\ – 2x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 19

Pembahasan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menerapkan aturan Cramer:

    \begin{align*}2x_1 - 4x_2 + 5x_3 & = - 33\\ 4x_1 - x_2 & = - 5\\ - 2x_1 + 2x_2 - 3x_3 & = 19\end{align*}

Pembahasan

Tabel matriks yang bersesuaian

X1X2X3b
12-45-33
24-10-5
3-22-319

Tulis matriks utama dan hitung determinannya

X1X2X3
12-45
24-10
3-22-3

Untuk cara menghitung determinan matriks ordo 3, klik di sini.

D = -12

Ganti kolom 1 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

bX2X3
1-33-45
2-5-10
3192-3

Dx = 6

Ganti kolom 2 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

X1bX3
12-335
24-50
3-219-3

D2 = -36

Ganti kolom 3 matriks utama dengan vektor solusi b, lalu hitung determinannya

X1X2b
12-4-33
24-1-5
3-2219

D3 = 48

Tentukan solusi x, y, dan z dengan membagi determinan yang bersesuaian dengan determinan matriks utama.

    \begin{align*}x_1&=\frac{Dx_1}{D}=\frac{6}{-12}=-\frac{1}{2}\\x_2&=\frac{Dx_2}{D}=\frac{-36}{-12}=3\\x_3&=\frac{Dx_3}{D}=\frac{48}{-12}=--4\\\end{align*}

Jadi, selesaian dari sistem persamaan tiga variabel tersebut adalah \left{ -\frac{1}{2},3,-4 \right}


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.