Aturan Cramer, Soal dan Pembahasan

Posted on

Prakata

Aturan Cramer atau kaidah Cramer, ditemukan oleh matematikawan Swiss, Gabriel Cramer, adalah salah satu prosedur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dasar metode ini adalah determinan dan matriks, sehingga dalam pengoperasiannya, pemahaman terhadap matriks sangat penting dalam pembahasan soal terkait aturan Cramer ini. Penerapan aturan Cramer.

Mengapa menggunakan aturan Cramer? Penerapan aturan Cramer memungkinkan untuk mendapatkan nilai x, y, atau z tanpa harus mencari masing-masing. Bandingkan dengan cara eliminasi atau substitusi, untuk mencari y terkadang harus mengetahui nilai x atau z atau keduanya terlebih dahulu.

Bentuk Umum Aturan Cramer

Sistem dengan n persamaan linear dan n variabel, dapat ditulis dalam perkalian matriks sebagai berikut:
Ax = b
dimana A adalah matriks persegi ordo n dan determinannya tidak nol, serta vektor kolom x = ( x1, x2, … xn )T dan b = ( b1, b2, … bn )T.

Kemudian teorema ini menyatakan bahwa sistem memiliki solusi tunggal:

    \[x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)} \,\,\,\,\,\,\, dengan \,\, i=1,2,3,...,n\]

di mana A_i adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-i pada matriks A menjadi vektor kolom b.

Penerapan Aturan Cramer Pada Persamaan Linear

Persamaan Linear Dua Variabel

Diberikan sistem persamaan linear dua variabel:

    \[\left{\begin{matrix}a_1 x + b_1 y & = & c_1 \\a_2 x + b_2 y & = & c_2\end{matrix}\right.\]

yang dapat ditulis dalam bentuk matriks:

    \[\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\]

Misalkan a1b2 – b1a2 tidak nol, maka nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan aturan Cramer, yaitu membagi determinan matriks yang telah dimodifikasi dengan determinan matriks awal:

    \[ \ x=\frac{\begin{vmatrix}c_1 & b_1\\c_2 & b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{vmatrix}}\frac{c_1b_2-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1} \,\,\, , \,\,\,y=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & c_1\\a_2 & c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{vmatrix}}\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}\]

Persamaan Linear Tiga Variabel

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

    \[\left{\begin{matrix}a_1x + b_1y + c_1z & = & d_1\\a_2x + b_2y + c_2z & = & d_2\\a_3x + b_3y + c_3z & = & d_3\end{matrix}\right.\]

yang dapat ditulis dalam bentuk matriks:

    \[\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\d_3\end{bmatrix}\]

Misalkan determinan matriks ordo 3 tersebut tidak nol, maka x, y dan z dapat dicari dengan cara membagi determinan matriks yang telah dimodifikasi dengan determinan matriks awal:

    \[x=\frac{\begin{vmatrix}d_1 & b_1 & c_1\\d_2 & b_2 & c_2\\d_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}} \,\,,\,\,y=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & d_1 & c_1\\a_2 & d_2 & c_2\\a_3 & d_3 & c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}} \,\,,\,\,z=\frac{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & d_1\\a_2 & b_2 & d_2\\a_3 & b_3 & d_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}}\]

Penerapan Aturan Cramer Pada Soal

Soal 1 Penyelesaian SPLDV dengan aturan Cramer

Selesaikan SPLDV berikut dengan aturan Cramer:
x – 2y + 4 = 0, 2x + y + 3 = 0

Pembahasan

Untuk masing-masing persamaan, pindahkan konstanta di ruas kiri ke ruas kanan.
x – 2y = -4, 2x + y = -3

Bentuk matriks untuk soal:

    \[\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-4\\-3\end{bmatrix}\]

Determinan matriks ordo 2:

    \[\begin{vmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{vmatrix}=(1\times1)-(-2\times 2)=5\]

Nilai x dan y :

    \begin{align*} x&=\frac{ \begin{vmatrix} -4 & -2\\ -3 & 1 \end{vmatrix} }{5} \\ &=\frac{(-4\times1)-(-2\times -3)}{5} \\ &=\frac{-10}{5} \\ &=-2 \end{align*}

    \begin{align*} y&=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & -4\\ 2 & -3 \end{vmatrix} }{5} \\ &=\frac{(1\times-3)-(-4\times 2)}{5} \\ &=\frac{5}{5} \\ &=1 \end{align*}

Sehingga diperoleh nilai x dan y berturut-turut adalah -2 dan 1.

Soal 2 Penerapan aturan Cramer pada SPLDV

Selesaikan SPLDV berikut dengan aturan Cramer:
x – 1 = 2(y – 1), x + y = 5(x – y + 3)

Pembahasan

Untuk masing-masing persamaan, jabarkan, lalu pindahkan konstanta di ruas kiri ke ruas kanan.

x – 1 = 2(y – 1)
x – 1 = 2y -2
x – 2y = -1
x + y = 5(x – y + 3)
x + y = 5x – 5y + 15
4x – 6y = -15

Bentuk matriks untuk soal:

    \[\begin{bmatrix}1 & -2\\4 & -6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\-15\end{bmatrix}\]

Determinan matriks ordo 2:

    \[\begin{vmatrix}1 & -2\\4 & -6\end{vmatrix}=(1\times-6)-(-2\times 4)=2\]

Nilai x dan y :

    \begin{align*} x&=\frac{ \begin{vmatrix} -1 & -2\\ -15 & -6 \end{vmatrix} }{2} \\ &=\frac{(-1\times-6)-(-2\times -15)}{2} \\ &=\frac{-24}{2} \\ &=-12 \end{align*}

    \begin{align*} y&=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & -1\ 4 & -15 \end{vmatrix} }{2} \\ &=\frac{(1\times-15)-(-1\times 4)}{2} \\ &=\frac{-11}{2} \end{align*}

Sehingga diperoleh nilai x dan y berturut-turut adalah -12 dan -11/2.

Untuk pembahasan soal berkaitan dengan aturan Cramer pada SPLDV, kunjungi: https://www.belajarmat.com/pembahasan-soal/pembahasan-soal-aturan-cramer-untuk-spldv/

Soal 3 Aturan Cramer untuk solusi SPLTV

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan aturan Cramer:
2x + 3y − z = 1, 4x + y − 3z = 11, dan 3x − 2y + 5z = 21.

Pembahasan

Buat matriks yang sesuai dengan soal,

    \[\begin{bmatrix}2 & 3 & -1\\4 & 1 & -3\\3 & -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\\21\end{bmatrix}\]

Buat matriks yang dimodifikasi: Dx, Dy, Dz

    \[D_x=\begin{vmatrix}1 & 3 & -1\\11 & 1 & -3\\21 & -2 & 5\end{vmatrix} \,\,,D_y=\begin{vmatrix}2 & 1 & -1\\4 & 11 & -3\\3 & 21 & 5\end{vmatrix} \,\,,D_z=\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\4 & 1 & 11\\3 & -2 & 21\end{vmatrix}\]

Cari masing-masing determinan,

aturan cramer 3x3

Gunakan determinan untuk menentukan masing-masing nilai x, y, dan z.

    \begin{align*} x&=\frac{D_x}{D} \\ &=\frac{-312}{-78} \\ &=4 \\ \\ y&=\frac{D_y}{D} \\ &=\frac{156}{-78} \\ &=-2 \\ \\ z&=\frac{D_z}{D} \\ &=\frac{-78}{-78} \\ &=1 \end{align*}

Kesimpulan

Jadi, melalui aturan Cramer, diperoleh solusi x = 4, y = -2, dan z = 1

Untuk pembahasan soal berkaitan dengan aturan Cramer pada SPLTV, kunjungi: Pembahasan soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Aturan Cramer


Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.

Leave a Reply

Your email address will not be published.