Soal HOTS Persamaan dan Pertidaksamaan

Posted on

Berikut beberapa soal HOTS persamaan dan pertidaksamaan dengan tingkat kesulitan tinggi. Pembahasan akan disertai langkah-langkah dan sedikit penjelasan. Selamat berlatih matematika.

Materi: Persamaan dan Pertidaksamaan

Selesaikan soal HOTS pertidaksamaan berikut: (sin pi/12)^{1-x} > (sin pi/12)^{x}

0 < \sin(\frac{\pi}{12}) < 1 berarti \sqrt{1-x} < x

Maka:

    \[\left\{{\begin{matrix} 1-x & \geq 0 \\ x & > 0 \\ 1-x^{2} & <x^{2} \end{matrix}}\right.\]

Sehingga:

    \[\left\{{\begin{matrix} 0 < x & \leq 1 \\ x^{2} + x -1 & >0 \end{matrix}}\right.\]

Dari x^{2} + x -1 >0 diperoleh solusi yang memenuhi:

    \[\left\{{\begin{matrix} 0<x \leq 1 \\ \left[{\begin{matrix} x&<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\ x&>\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}}\right. \end{matrix}}\right.\]

Dari ketiga syarat di atas, diperoleh kesimpulan:

    \[\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<x\leq 1\]

Tentukan penyelesaian dari soal persamaan berikut: akar(x^2+4x+4)=x^2+3x-6

    \begin{align*}\sqrt{x^{2}+4x+4}&= x^{2}+3x-6 \\\sqrt{x^{2}+4x+4}&=\sqrt{(x+2)^{2}} =x^{2}+3x-6 \\\left|x+2 \right|&=x^{2}+3x-6\end{align*}

Untuk menyelesaikan soal HOTS persamaan ini, buat dua kasus dari bentuk nilai mutlak |x+2|,

Kasus 1: x \geq 2

    \begin{align*}x+2 &= x^{2}+3x-6 \\x^{2}+2x-8 &= 0 \\x&=-1\pm\sqrt{9}\\x&= -1 \pm 3\end{align*}

    \[\begin{cases}x \geq 2 \\ x= -1 \pm 3\end{cases}\]

Sehingga diperoleh kesimpulan x = 2

Kasus 2: x < -2

    \[ -\left(x+2\right) &= x^{2}+3x-6 \\x^{2}+4x-4 &= 0\\x=-2\pm\sqrt{8}&=-2\pm2\sqrt{2}\]

    \[\begin{cases}x < -2 \\x= -2 \pm 2 \sqrt{2}\end{cases}\]

Sehingga diperoleh kesimpulan x = -2-2\sqrt{2}

Dari kesimpulan di atas, diperoleh selesaian: \{2.-2-2\sqrt{2}\}.

Selesaikan sistem pertidaksamaan berikut pada rentang [0, 2pi]:

    \[\begin{cases}\sin(2x) \geq \sin(x)\\cos(2x) \leq \cos(x)\end{cases}\]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal HOTS pertidaksamaan ini, perhatikan bahwa penyelesaian terbatas pada rentang [0, 2pi].

Untuk: \sin(2x)\geq \sin(x) ….(1)

    \begin{align*}2\sin(x)\cos(x)&\geq\sin(x)\\\sin(x)\left(2\cos(x)-1\right) &\geq 0\end{align*}

Dalam \left [0,2\pi \right ] Perhatikan tiga kasus berikut:

    \[\sin(x)=0,\sin(x)>0,\sin(x)<0\]

Kasus 1: \sin(x)=0
Dalam \left[0,2\pi\right], kondisi yang memenuhi x=0,x=\pi,x=2\pi.

Kasus 2: \sin(x)<0, yaitu 0<x\leq\pi.
Maka

    \[\cos(x)\geq\frac{1}{2}\]
Dalam \left [0,2\pi \right ], kondisi yang memenuhi 0<x\leq \frac{\pi}{3}.

Kasus 3: \sin(x)>0, yaitu \pi<x\leq 2\pi.
Maka

    \[\cos(x)\leq\frac{1}{2}\]
Dalam \left [0,2\pi \right ], kondisi yang memenuhi \pi<x\leq \frac{5\pi}{3}.

Menggabungkan ketiga kasus di atas, diperoleh:

    \[\begin{cases}0\leq x\leq\frac{\pi}{3}\\\pi\leq x\leq\frac{5\pi}{3}\\x=2\pi\end{cases}\]

Untuk: \cos(2x)\leq \cos(x) ….(2)

    \begin{align*}\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x) &\leq \cos(x)\\\cos^{2}(x)-1+\cos^{2}(x) &\leq \cos(x)\\2\cos^{2}(x)-\cos(x)-1 &\leq 0\end{align*}

Buat permisalan, \cos(x)=t, maka

    \[2t^2-t-1 \leq 0\]

    \[t=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}\]

    \[t=-\frac{1}{2} \vee t=1\]
Sehingga selesaian untuk 2t^2-t-1 \leq 0 adalah

    \begin{align*}-\frac{1}{2} \leq &t \leq 1 \\-\frac{1}{2} \leq &\cos(x) \leq 1 \\0\leq x\leq \frac{2\pi}{3} &\vee \frac{4\pi}{3}\leq x \leq 2\pi\end{align*}

Dari (1) dan (2),

soal hots pertidaksamaan

Sehingga diperoleh jawaban:

    \[\begin{cases}0\leq x\leq \pi/3\\4\pi/3\leq x\leq 5\pi/3\\x=2\pi\end{cases}\]

Selesaikan soal HOTS pertidaksamaan berikut: {x-1}/{x-2} <={x-2}/{x-1}

    \[\frac{x-1}{x-2}\leq\frac{x-2}{x-1}\]

    \begin{align*} \frac{x-1}{x-2}-\frac{x-2}{x-1} &\leq 0\\ \frac{\left(x-1\right)^2-\left(x-2\right)^2 }{\left(x-1\right)\left(x-2\right)} &\leq 0\\ \frac{2x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)} &\leq 0\\ \frac{x-3/2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)} &\leq 0 \end{align*}

Diperoleh selesaian untuk soal pertidaksamaan ini:

    \[-\infty<x<1 \vee 3/2 \leq x <2\]

Selesaikan persamaan berikut: (x-y-z)^2+(2x-3y+2z+4)^2+(x+y+z-8)^2=0

    \[\left(x-y-z\right)^2+\left(2x-3y+2z+4\right)^2+\left(x+y+z-8\right)^2=0\]

Pembahasan

Pada soal HOTS persamaan ini, perhatikan ruas kiri dibentuk dari penjumlahan 3 bentuk kuadrat yang ketiganya pasti bilangan nonnegatif. Penjumlahan bilangan nonnegatif hanya mungkin menghasilkan nol jika ketiganya adalah nol.

    \[\begin{cases}x-y-z=0\\2x-3y+2z+4=0\\x+y+z-8=0\end{cases}\]

Menjumlahkan persamaan 1 dan 3 akan diperoleh:
x=4
Sehingga:

    \[\begin{cases}y+z=4\\3y-2z=12\end{cases}\]

Mengalikan persamaan 1 dengan 2 dan menjumlahkan hasilnya dengan persamaan 2 akan diperoleh:
5y=20

Sehingga: y=4, \quad z=0
Solusi dari soal persamaan ini adalah:
x=4, \quad y=4, \quad z=0

Selesaikan soal HOTS persamaan berikut: sqrt{x}+sqrt{x+1} – sqrt{x+2}=0

    \[\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}=0\]

Pembahasan

Perhatikan pada \sqrt{x} hanya berlaku untuk x\geq 0.
Memindahkan \sqrt{x+2} ke ruas kanan akan diperoleh:

    \[\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+2}\]

Karena kedua ruas nonnegatif, persamaan ini ekuivalen dengan:

    \[\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)=x+2\]
Sehingga

    \begin{align*}x+2\sqrt{x\left(x+1\right)}+x+1&=x+2\\2\sqrt{x\left(x+1\right)}&=1-x\end{align*}

Persamaan ini ekuivalen dengan:

    \[\begin{cases}4x^2+4x=1-2x+x^2\\x\leq 1\end{cases}\]

Maka, 3x^2+6x-1=0, nilai x yang memenuhi:

    \[x\frac{-6\pm \sqrt{36+12}}{6}=\frac{-6\pm 4\sqrt{3}}{6}=-1\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\]
Karena

    \[x>0,\quad x=-1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\leq 1\]
Maka diperoleh solusi:

    \[x=-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Selesaikan soal HOTS pertidaksamaan logaritma berikut: ln(x^2 +3x +2)<=0

    \[\ln\left(x^2+3x+2\right)\leq 0\]

Pembahasan

Pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan pertidaksamaan berikut:

    \[0<x^2+3x+2\leq 1\]
Maka,

    \[\begin{cases}x^2+3x+2> 0\\x^2+3x+1\leq 0\end{cases}\]

Kasus 1: x^2+3x+2> 0 \leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x+2\right)>0
Sehingga, x<-2 \vee x>-1.

Kasus 2: x^2+3x+1\leq 0
Sehingga,

    \[\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\leq x \leq \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\]

Karena

    \[\frac{-3-\sqrt{5}}{2}<-2 \quad \text{atau} \quad \frac{-3+\sqrt{5}}{2}>-1\]

Diperoleh solusi:

    \[\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\leq x <-2 \quad \text{atau} \quad -1 < x < \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\]

Selesaikan pertidaksamaan berikut: sqrt(x^2-3x+2) <= sqrt(x+7)

    \[\sqrt{x^2-3x+2}\leq \sqrt{x+7}\]

Pembahasan soal HOTS pertidaksamaan

Pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan sistem berikut:

    \[\begin{cases}x^2-3x+2 \geq 0\\x+7 \geq 0\\x^2 -3x +2 \leq x+7\end{cases}\]

    \[\begin{cases}(x-1)(x-2) \geq 0\\x \geq -7\\x^2 -4x -5 \leq 0\end{cases}\]

    \[\begin{cases}(x-1)(x-2) \geq 0\\x \geq -7\\(x-5)(x+1) \leq 0\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x\leq 0 \text{atau} x\geq 2\\x \geq -7\\-1\leq x \leq 5\end{cases}\]

Selesaian dari pertidaksamaan soal adalah:

    \[x\in \left[-1,1\right]\cup \left[2,5\right]\]

Temukan semua bilangan real positif x dan y yang memenuhi sistem berikut:

    \[\begin{cases}x^y=y^{x-y}\\x^x=y^{12y}\end{cases}\]

Pembahasan

    \[\begin{cases}y \ln{x} = (x-y)\ln{y}\\x \ln{x} = 12y \ln{y}\end{cases}\]

    \[\begin{cases}\ln{x}&=\frac{x-y}{y}\ln{y}\\\frac{x(x-y)}{y}\ln{y}&=12y\ln{y}\end{cases}\]

    \[\begin{cases}\ln{x} &= \frac{x-y}{y}\ln{y}\\\left( \frac{x(x-y)}{y}-12y \right)\ln{y} &=0\end{cases}\]

Dari persamaan terakhir, \ln{y}=0 dan

    \[\frac{x^2-xy-12y^2}{y}=0\]
Jika \ln{y}=0, maka \ln{x}=0 sehingga x=1 dan y=1 adalah salah satu solusi sistem.
Jika,

    \[\frac{x^2-xy-12y^2}{y}=0\], maka

    \[\frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}-12=0\], dan

    \[\left(\frac{x}{y}-4 \right)\left(\frac{x}{y}+3 \right)=0\]

Karena x dan y adalah bilangan positif, maka x=4y dan \ln{(4y)}=3\ln{(y)} sehingga 4y=y^3,\,y=2,\,\text{dan},\,x=8.

Sistem persamaan ini memiliki dua solusi: \begin{cases} x=1\\y=1 \end{cases} dan \begin{cases} x=8\\y=2 \end{cases}

Leave a Reply

Your email address will not be published.